Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler Ders Notu

Dönüşümün Temel Özellikleri

Öteleme, dönme ve simetri dönüşümlerinde uzaklık ve açı ölçüleri korunur. Bir çokgenin görüntüsü, her köşesine aynı kuralın uygulanmasıyla bulunur. Öteleme bir yer değiştirme, dönme bir merkez çevresinde açısal hareket, simetri ise merkeze veya doğruya göre yansımadır.

Öteleme

**T(a,b): (x,y)→(x+a,y+b)**. a>0 sağa, a<0 sola; b>0 yukarı, b<0 aşağı anlamına gelir. Başlangıç ve görüntü verildiyse kayma vektörü **(x'−x,y'−y)** olur. Ötelemeler toplandığında T(a,b) ve T(c,d) yerine T(a+c,b+d) yazılabilir.

Ötelemede **F(x,y)=0** eğrisinin yeni denkleminde eski x yerine **x−a**, eski y yerine **y−b** yazılır. Örnek: 2x+y=7 doğrusu T(3,−2) ile 2(x−3)+(y+2)=7 → **2x+y=11** olur. y=f(x) grafiğinin ötelemesi **y=f(x−a)+b** biçimindedir.

Orijin Çevresinde Dönme

Saat yönünün tersi **pozitif**, saat yönü **negatif** yöndür. Genel bağıntı **Rα(x,y)=(x cosα−y sinα, x sinα+y cosα)**. Negatif açı için α yerine −α yazılır. Dönme merkezi orijinse orijine olan uzaklık korunur: x²+y²=x'²+y'².

| Dönme | Noktanın görüntüsü | |---|---| | Pozitif 90° | (−y,x) | | 180° | (−x,−y) | | Pozitif 270° | (y,−x) | | Negatif 90° | (y,−x) |

Örnek: (3,−2) noktasının R90 görüntüsü (2,3), R180 görüntüsü (−3,2)'dir. Doğrunun dönmede görüntüsünü bulurken doğru üzerindeki iki nokta dönüştürülebilir veya ters dönüşüm bağıntısı eski denklemde kullanılabilir.

Noktaya ve Eksenlere Göre Simetri

**M(a,b) merkezli simetri:** (x,y)→(2a−x,2b−y). Çünkü M, başlangıç ile görüntünün orta noktasıdır. **Orijin simetrisi:** (−x,−y). Bu, orijin çevresinde 180° dönmeyle aynı görüntüyü verir.

**x eksenine göre:** (x,−y). **y eksenine göre:** (−x,y). **y=x doğrusuna göre:** (y,x). Örnek: (−2,5) noktasının y=x'e göre simetriği (5,−2)'dir. Simetri eksenindeki noktanın görüntüsü kendisidir.

Düşey ve Yatay Doğrulara Göre Simetri

**x=a** doğrusuna göre (2a−x,y); **y=b** doğrusuna göre (x,2b−y) kullanılır. Örnek: (−1,4)'ün x=2 doğrusuna göre simetriği (5,4); y=1'e göre simetriği (−1,−2)'dir.

Eğik Doğruya Göre Yansıma

A noktasından simetri doğrusuna dik çizilir. Kesişim H bulunur ve **H, AA' parçasının orta noktası** olacak şekilde A' belirlenir. Eğimi m olan doğruya dik doğrunun eğimi **−1/m** (m sıfır değilse) olur. x=a ve y=b için yukarıdaki özel kuralları kullanmak daha kolaydır.

Doğru ve Parabolün Görüntüsü

Doğrunun iki noktası dönüştürülerek yeni doğru bulunabilir. İşlem denklemle yapılıyorsa yeni noktanın **ters dönüşümle** bulunan eski koordinatları ilk denklemde yerine yazılır. Orijine göre simetride eski x=−yeni x, eski y=−yeni y'dir. Bu şekilde y=3x+2 doğrusunun orijin simetriği y=3x−2 olur.

Parabolün T(a,b) ötelemesi için y=f(x−a)+b kullanılır. Örneğin y=(x+1)²−3 parabolü 2 sağa, 4 yukarı ötelenirse y=(x−1)²+1 olur.

Bileşke Dönüşümler

Birden fazla dönüşüm art arda uygulandığında her ara görüntü yeni işleme giriş olur. Önce T(2,−1) sonra R90 için (x,y)→(x+2,y−1)→(1−y,x+2). İki farklı dönüşümün yeri değiştirildiğinde sonuç çoğunlukla değişir.

Sınav Uyarıları

• Pozitif ve negatif 90° dönüşümlerinin işaretlerine dikkat edilir.
• Kaydırılan **nokta** için öteleme doğrudan toplanır; **denklemde** ters yerleştirme yapılır.
• Noktanın bir merkeze simetriğinde merkezi orta nokta kabul etmek güvenilir kontroldür.
• Eğik doğru simetrisinde görüntüyle eski noktayı birleştiren doğru simetri eksenine dik olmalıdır.
• Bileşke dönüşümün sırası da sorunun verisidir; keyfî değiştirilmez.

Kısa Özet

Öteleme koordinatlara toplama; dönme açıya bağlı koordinat dönüşümü; simetri ise orta nokta veya eksene göre yansıma oluşturur. Doğru-parabol sorularında denklem içindeki yerine koyma ters yapılır. Tüm dönüşümlerde uzunluk korunur ve ardışık işlemler mutlaka sırayla uygulanır.