AYT Matematik Analitik Geometri Ders Notu

Analitik Geometri – Ders Notu

Noktanın Analitik İncelenmesi

Uzaklık: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Orta nokta: koordinatların ortalaması.

Örnek: A(1, 2), B(4, 6) → |AB| = 5.

Örnek: A(1, 1), B(5, 2), C(3, 6) üçgeninin alanı 9.

Doğru

Eğim m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Denklem y − y₁ = m(x − x₁).

ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi −a/b.

Örnek: 2x + y − 5 = 0 → eğim −2.

Örnek: 3x + 4y − 12 = 0 doğrusu x eksenini 4’te keser.

Paralel ve Dik

Paralel: m₁ = m₂. Dik: m₁ · m₂ = −1.

Örnek: x + y = 5 ve 2x − y = 1 doğruları (2, 3) noktasında kesişir.

Uzaklık

Nokta–doğru: |a x₀ + b y₀ + c|/√(a² + b²).

Örnek: A(1, 2) ile 3x + 4y − 3 = 0 arası 8/5.

Örnek: 3x + 4y − 5 = 0 ve 3x + 4y + 10 = 0 arası 3.

Dönüşümler

Öteleme: (x + a, y + b). x eksenine yansıma: (x, −y). y eksenine yansıma: (−x, y). Orijine göre simetri: (−x, −y). y = x’e göre yansıma: (y, x).

Örnek: A(3, 5) ile x eksenine göre simetriği arası uzaklık 10.

Örnek: A(3, 1) 90° döndürülürse (−1, 3).

Çember

(x − a)² + (y − b)² = r².

Örnek: x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 çemberinin yarıçapı 4.

Örnek: Çapı AB olan çemberde A(1, 2), B(4, 6) için r = 5/2.

Doğru ve Çember

d > r kesmez, d = r teğet, d < r keser (kiriş 2√(r² − d²)).

Örnek: x² + y² = 25 ve y = 3 için kiriş 8.

Örnek: A(5, 0)’dan x² + y² = 9 çemberine teğet uzunluğu 4.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• uzaklık ve orta nokta,
• doğru denklemi,
• paralel, dik ve uzaklık,
• dönüşümler,
• çember denklemi,
• doğru–çember konumu.

Sık Karıştırılanlar

• Eğim −a/b’dir.
• Çember denkleminde merkezin işareti.
• Uzaklık formülünde karekök ve mutlak değer.
• Orijine göre simetri ile eksene göre simetri.

Kısa Özet

Şekli koordinat düzleminde düşün. Doğruda eğimi, çemberde merkez ve yarıçapı bul. Doğru–çember sorularında d ile r’yi karşılaştır.