Birinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

Birinci Dereceden Denklemler

Denklem ve Bilinmeyen

Denklemi doğru yapan bilinmeyen değerine denklemin kökü veya çözümü denir. Çözüm kümesi, denklemi sağlayan bütün değerlerin kümesidir. Örneğin 2x+3=11 denkleminin kökü x=4'tür; çünkü 2×4+3=11.

Eşitliğin Korunması

Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir ya da her iki taraftan aynı sayı çıkarılabilir. Her iki taraf aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir. Öğrencilerin sıkça kullandığı “karşı tarafa işaret değiştirerek geçirme” kuralı bu eşit işlemlerin kısaltmasıdır.

Parantezli Denklemler

Dağılma özelliğiyle a(x+b)=ax+ab yazılır. Önce parantez açılır, x içeren terimler bir yanda, sabit sayılar diğer yanda toplanır.

Bilinmeyen İki Tarafta Olduğunda

ax+b=cx+d denkleminde a≠c ise (a-c)x=d-b olduğundan x=(d-b)/(a-c) olur. Her iki taraftaki x'leri bir yanda toplarken katsayı işaretlerine dikkat edilir.

Kesirli Denklemler

Paydalar sayısal ve sıfırdan farklı olduğunda her iki taraf paydaların ortak katıyla çarpılarak kesirler kaldırılabilir. Paydada bilinmeyen varsa önce paydayı sıfır yapan değerler belirlenir ve dışlanır.

Özel Durumlar: Çözüm Yok veya Sonsuz Çözüm

Denklem sadeleştiğinde 0=5 gibi yanlış bir eşitliğe dönüşürse çözüm yoktur. 0=0 gibi her değer için doğru bir eşitliğe dönüşürse verilen tanım kümesindeki bütün değerler çözümdür. Örneğin 2(x+3)=2x+6 her x için doğrudur. Buna karşılık 2(x+3)=2x+7 hiçbir x için doğru değildir.

Sözel Sorularda Denklem Kurma

Bir sayının 3 katının 5 fazlası 26 ise 3x+5=26 yazılır. “Sayının yarısının 4 eksiği” x/2-4, “beş yıl sonraki yaş” x+5 olarak gösterilir. Sözel ifadeyi eşitliğe doğru aktarmak işlem yapmaktan önce gelir.

Ardışık Sayılar ve Yaş Problemleri

Ardışık tam sayılar x,x+1,x+2; ardışık tek veya çift sayılar x,x+2,x+4 olarak yazılır. Bir kişinin bugünkü yaşı x ise t yıl sonraki yaşı x+t, t yıl önceki yaşı x-t olur. Yaş farkları zamanla değişmez; çarpan ilişkileri değişebilir.

Denklemde Sonucun Kontrolü

Bulunan kök mutlaka başlangıçtaki denklemin iki yanında denenmelidir. Kesirli ifadeler varsa paydaların sıfır olmama şartına bakılır. Sonucun sayısal bir kök mü, çözüm yok mu, yoksa tüm sayılar mı olduğu belirtilmelidir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Karşı tarafa geçirirken yalnız terimin işareti değişir; katsayı keyfî olarak değiştirilmez.
2. 2(x+3)=2x+6 olur; parantez dışındaki 2, içerideki her terimi çarpar.
3. ax+b=cx+d için a=c olduğunda tek-kök formülü uygulanmaz; özel durum incelenir.
4. Kesirler giderilirken her terim ortak payda katıyla çarpılmalıdır.
5. Yaş probleminde “5 yıl sonra” bütün kişilerin yaşlarına 5 eklenmesi demektir.
6. Denklem kurarken “fazlası” toplama, “katı” çarpma anlamına gelir.
7. Bulunan kök ilk denklemde yerine yazılmadan sonuç kesinleşmez.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Konu Özeti

Birinci dereceden denklemde bilinmeyenin en yüksek kuvveti 1’dir ve katsayısı sıfırdan farklıdır. Eşitliği koruyan işlemlerle x yalnız bırakılır. Parantez açılır, kesirler ortak katla giderilir, benzer terimler toplanır. x’in katsayısı sıfır olursa çelişki veya özdeşlik durumu incelenir. Problemlerde önce bilinmeyen seçilir, koşullardan denklem kurulur.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Tek taraflı ve iki taraflı doğrusal denklemleri çözebilmelisin.
• Parantez ve sayısal paydaları doğru işlemlerle kaldırabilmelisin.
• Çözümü başlangıç denklemine koyarak denetleyebilmelisin.
• Çözüm yok, tek çözüm ve sonsuz çözüm durumlarını ayırabilmelisin.
• Sözel ifadeleri denklem biçiminde yazabilmelisin.
• Ardışık sayı ve yaş ilişkilerini doğrusal denklemle çözebilmelisin.