9. Sınıf Matematik: Fonksiyon Kavramına Giriş – Ders Notu

Fonksiyon Kavramına Giriş – Ders Notu

Fonksiyon Nedir?

Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tam bir elemana eşleyen özel bir ilişkidir.

Fonksiyon olma şartı:

• Tanım kümesindeki her eleman kullanılmalı.
• Her girdi yalnız bir çıktıya gitmeli.
• Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir.

Temel Gösterim

f: A → B

A → tanım kümesi B → değer kümesi f → fonksiyonun adı

Tanım Kümesi

Fonksiyona verilen girdilerin kümesidir.

Örnek:

A={1,2,3}

ise girdiler 1, 2 ve 3'tür.

Değer Kümesi

Çıktıların seçilebileceği hedef kümedir.

Değer kümesindeki her elemanın kullanılması zorunlu değildir.

Görüntü Kümesi

Gerçekten elde edilen farklı çıktılardan oluşur.

Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

Örnek:

A={1,2,3}

B={a,b,c,d}

1→a 2→b 3→a

Görüntü kümesi:

{a,b}

Fonksiyon Olma Kontrolü

Bir eşleme için iki temel kontrol yapılır:

1. Tanım kümesinde açıkta eleman var mı?
2. Aynı girdi iki farklı çıktıya gidiyor mu?

Açıkta eleman yoksa ve hiçbir girdi iki farklı çıktıya gitmiyorsa eşleştirme fonksiyon olabilir.

Aynı Çıktıya Birden Fazla Girdi

Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir.

Örnek:

1→a 2→a 3→b

Bu eşleştirme fonksiyondur.

Aynı Girdinin İki Farklı Çıktısı

Aynı girdi iki farklı çıktıya gidemez.

Örnek:

1→a 1→b

Bu eşleştirme fonksiyon değildir.

Sıralı İkililer

(x,y)

x → girdi y → çıktı

Örnek:

{(1,a),(2,b),(3,a)}

fonksiyondur.

{(1,a),(1,b),(2,c)}

fonksiyon değildir.

Sıralı ikililerde ilk bileşenlere bakılır.

Tabloyla Fonksiyon

Her x değerinin yalnız bir y değeri varsa tablo fonksiyonu gösterebilir.

Aynı y değeri birden fazla x için tekrar edebilir.

f(x) Gösterimi

f(x), x girdisinin fonksiyon değeridir.

Örnek:

f(x)=2x+3

f(4)=11

f(x), f ile x'in çarpımı değildir.

Fonksiyon Değeri Hesaplama

1. Verilen değeri x yerine yaz.
2. Parantezi doğru kullan.
3. İşlem önceliğine dikkat et.
4. Sonucu sadeleştir.

Örnek:

f(x)=x²+1

f(-2)=(-2)²+1=5

Bilinmeyen Girdiyi Bulma

Örnek:

f(x)=3x+1

f(a)=10

3a+1=10

a=3

Görüntü Kümesi Bulma

Tanım kümesindeki bütün elemanlar fonksiyonda yerine yazılır.

Örnek:

A={-1,0,1,2}

f(x)=x²

Çıktılar:

1,0,1,4

Görüntü kümesi:

{0,1,4}

Bağımsız ve Bağımlı Değişken

Genellikle:

x → bağımsız değişken

f(x) → bağımlı değişken

f(x)'in değeri x'e bağlı olarak değişir.

Günlük Hayat Modeli

Bir ürünün birim fiyatı 15 TL ise x adet ürünün toplam fiyatı:

f(x)=15x

ile gösterilebilir.

Burada x ürün sayısı, f(x) toplam fiyattır.

Sık Yapılan Hatalar

• Değer kümesi ile görüntü kümesini karıştırmak.
• Aynı çıktı tekrar edildiğinde fonksiyon değildir sanmak.
• Tanım kümesinde açıkta eleman bırakmak.
• Sıralı ikililerde ikinci bileşenleri esas almak.
• f(x) ifadesini çarpma sanmak.
• Negatif girdiyi parantezsiz yerine yazmak.
• Görüntü kümesinde tekrar eden elemanı birden fazla kez yazmak.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Tanım kümesi → girdiler.
• Değer kümesi → hedef küme.
• Görüntü kümesi → kullanılan çıktılar.
• Aynı girdi iki farklı çıktıya gidemez.
• Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir.
• Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır.
• Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
• f(a), a girdisinin çıktısıdır.
• Sıralı ikililerde ilk bileşenler kontrol edilir.

Fonksiyon Kavramına Giriş Kısa Özeti

Fonksiyon, tanım kümesindeki her girdiye tam bir çıktı atayan özel bir ilişkidir. f: A → B gösteriminde A tanım kümesi, B değer kümesidir. Gerçekten kullanılan çıktılar görüntü kümesini oluşturur. Aynı girdi iki farklı çıktıya gidemez; farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir. Fonksiyonlar eşleme şeması, sıralı ikililer, tablo veya cebirsel kuralla verilebilir. f(x), x girdisinin fonksiyon değerini ifade eder.