TYT Geometri Üçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları Ders Notu

Üçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları Ders Notu

Bu konuda üçgenin açı özellikleri, açı ile karşı kenar arasındaki ilişki ve kenar uzunluklarının üçgen oluşturma koşulları incelenir.

1. Üçgenin İç Açıları

Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.

A + B + C = 180°

Örnek: A=50° ve B=70° ise C=60°.

1. Cebirsel Açılar

Açılar x cinsinden verilirse toplamları 180°'ye eşitlenir.

Örnek: Açılar x, 2x ve 3x ise x+2x+3x=180° → 6x=180° → x=30°.

Açılar: 30°, 60°, 90°.

1. Dış Açı

Bir kenarın uzatılmasıyla oluşan ve iç açıya komşu olan açı dış açıdır.

İç açı + komşu dış açı = 180°

Örnek: İç açı 65° ise dış açı 115°'dir.

1. Dış Açı Teoremi

Bir üçgende dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Dış açı = Uzak iki iç açının toplamı

Örnek: Uzak iç açılar 45° ve 70° ise dış açı 115°'dir.

1. Üçgenin Dış Açılarının Toplamı

Her köşeden birer dış açı alındığında toplam 360° olur.

Dış açılar toplamı = 360°

1. Açılara Göre Üçgenler

Dar açılı üçgen: Üç açısı da 90°'den küçüktür. Dik üçgen: Bir açısı 90°'dir. Geniş açılı üçgen: Bir açısı 90°'den büyüktür.

Bir üçgende en fazla bir tane dik veya geniş açı bulunabilir.

Her üçgende en az iki dar açı vardır.

1. Açı – Kenar İlişkisi

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.

Büyük açı ↔ Büyük karşı kenar Küçük açı ↔ Küçük karşı kenar

ABC üçgeninde:

A açısının karşısında BC B açısının karşısında AC C açısının karşısında AB bulunur.

Örnek: A=80°, B=60°, C=40° ise BC>AC>AB.

1. Kenarlardan Açıları Sıralama

Kenarlar büyükten küçüğe sıralanır, karşılarındaki açılar da aynı sıraya sahiptir.

Örnek: AB=5, AC=7, BC=9 ise BC>AC>AB olduğundan A>B>C.

1. Eşit Açı – Eşit Kenar

İki açı eşitse karşılarındaki kenarlar eşittir.

A=B ise BC=AC.

İki kenar eşitse karşılarındaki açılar da eşittir.

BC=AC ise A=B.

1. İkizkenar Üçgen İlişkisi

İki kenarı eşit olan üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.

AB=AC ise B=C.

Örnek: AB=AC ve A=40° ise B+C=140° olur. B=C olduğundan B=C=70°.

1. Eşkenar Üçgen

Üç kenarı eşit olan üçgende üç açı da eşittir.

A=B=C=60°

Eşkenar üçgen aynı zamanda dar açılı üçgendir.

1. Dik Üçgende En Uzun Kenar

Dik üçgende en büyük açı 90° olduğundan karşısındaki kenar en uzun kenardır.

Dik açı karşısındaki kenar = Hipotenüs

1. Geniş Açılı Üçgende En Uzun Kenar

Geniş açı üçgenin en büyük açısıdır.

Bu nedenle geniş açının karşısındaki kenar en uzun kenardır.

1. Üçgen Eşitsizliği

Üç kenar uzunluğunun üçgen oluşturabilmesi için herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.

a+b>c a+c>b b+c>a

İki kenar biliniyorsa üçüncü kenar için kısa yol:

|a−b| < c < a+b

1. Üçüncü Kenarın Alabileceği Değerler

Örnek: İki kenar 5 ve 8, üçüncü kenar x olsun.

|8−5| < x < 8+5

3 < x < 13

x, 3 veya 13 olamaz.

1. Tam Sayı Kenar Soruları

Örnek: Kenarlar 4, 9 ve x tam sayı olsun.

|9−4| < x < 9+4

5 < x < 13

x = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 olabilir.

Toplam 7 farklı tam sayı değeri vardır.

1. Üçgen Oluşma Kontrolü

Pozitif üç kenar verildiğinde en büyük kenarı belirlemek yeterlidir.

Küçük iki kenarın toplamı > En büyük kenar olmalıdır.

Örnek: 4, 6, 9 → 4+6>9 olduğu için üçgen oluşur.

4, 5, 9 → 4+5=9 olduğu için üçgen oluşmaz.

1. Sınır Değerleri Neden Alınmaz?

Üçgen eşitsizliğinde eşitlik kabul edilmez.

a+b=c ise üçgen oluşmaz.

Mutlaka a+b>c olmalıdır.

1. En Küçük ve En Büyük Tam Sayı Kenar

Kenarlar 7, 12 ve x olsun.

|12−7| < x < 12+7

5 < x < 19

x tam sayıysa:

En küçük x=6 En büyük x=18

1. Çevre Soruları

Üçüncü kenarın alabileceği değerler çevreyi de belirler.

Örnek: Kenarlar 6, 10 ve x tam sayı olsun.

4 < x < 16

En küçük x=5 → En küçük çevre=6+10+5=21.

En büyük x=15 → En büyük çevre=6+10+15=31.

1. Dış Açı ve Kenar Sıralaması

Önce dış açı teoremiyle bilinmeyen açılar bulunur, sonra karşı kenarlar sıralanır.

Örnek: C köşesindeki dış açı 130° ve A=50° ise:

130°=A+B 130°=50°+B B=80°

C iç açısı=50°.

B>A=C olduğundan AC>BC=AB.

1. Açı–Kenar Sorularında Temel Yöntem

Kenar sıralaması isteniyorsa karşı açılara bak. Açı sıralaması isteniyorsa karşı kenarlara bak. Eşit kenar varsa karşı açılar eşittir. Eşit açı varsa karşı kenarlar eşittir.

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Şekilde bir kenar daha uzun veya bir açı daha büyük görünebilir.

Ancak geometri şekilleri ölçekli olmak zorunda değildir.

Yalnızca verilen bilgi ve kesin geometrik sonuçlar kullanılmalıdır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir. • Dış açı, uzak iki iç açının toplamıdır. • Her köşeden birer dış açı alındığında toplam 360°'dir. • Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. • Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir. • Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. • Üçgen eşitsizliğinde sınır değerleri alınmaz. • a+b=c ise üçgen oluşmaz. • Bir üçgende en fazla bir dik veya geniş açı olabilir. • Her üçgende en az iki dar açı vardır.

Üçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları Kısa Özeti

İç açılar: A+B+C=180° Dış açılar toplamı: 360° Dış açı: Uzak iki iç açının toplamı

Büyük açı ↔ Büyük karşı kenar Küçük açı ↔ Küçük karşı kenar Eşit açı ↔ Eşit karşı kenar

Üçgen eşitsizliği: |a−b|<c<a+b Üçgen oluşma koşulu: Küçük iki kenarın toplamı > En büyük kenar

Dar açılı üçgen: Tüm açılar <90° Dik üçgen: Bir açı =90° Geniş açılı üçgen: Bir açı >90°

İkizkenar üçgen: Eşit kenarların karşısındaki açılar eşit Eşkenar üçgen: 60° – 60° – 60° Dik üçgen: 90° karşısındaki kenar hipotenüs