TYT Geometri Analitik Geometri Ders Notu

Analitik Geometri Ders Notu

Analitik geometri; noktaları ve doğruları koordinat düzleminde cebirsel yöntemlerle inceleyen geometri bölümüdür. TYT'de özellikle koordinatlar, uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemleri önemlidir.

1. Koordinat Düzlemi

Yatay eksen → x ekseni Dikey eksen → y ekseni Kesişim noktası → Orijin

Orijin: O(0,0)

Bir nokta:

A(x,y)

şeklinde gösterilir.

İlk değer x, ikinci değer y koordinatıdır.

1. Bölgeler

I. Bölge → (+,+) II. Bölge → (−,+) III. Bölge → (−,−) IV. Bölge → (+,−)

Örnek:

A(3,5) → I. Bölge B(−4,2) → II. Bölge C(−2,−6) → III. Bölge D(5,−3) → IV. Bölge

1. Eksen Üzerindeki Noktalar

x ekseni üzerindeki noktada:

y=0

y ekseni üzerindeki noktada:

x=0

Örnek:

A(6,0) → x ekseni üzerinde B(0,−5) → y ekseni üzerinde

1. Orijine Uzaklık

A(x,y) noktasının orijine uzaklığı:

OA=√(x²+y²)

Örnek:

A(3,4)

OA=√(9+16)=5

1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık

A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) arasındaki uzaklık:

AB=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

Örnek:

A(1,2), B(4,6)

AB=√[(4−1)²+(6−2)²]

=√25

=5

1. Yatay ve Dikey Uzaklık

y koordinatları eşitse:

Uzaklık=|x₂−x₁|

x koordinatları eşitse:

Uzaklık=|y₂−y₁|

Örnek:

A(2,5), B(8,5)

AB=6

1. Orta Nokta

A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarının orta noktası:

M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

Örnek:

A(2,4), B(8,10)

M(5,7)

1. Orta Noktadan Bilinmeyen Koordinat

A(2,3), B(x,7) ve orta nokta M(5,5) ise:

(2+x)/2=5

x=8

1. Eğim

A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi:

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

Örnek:

A(1,2), B(4,8)

m=(8−2)/(4−1)=2

1. Eğimin İşareti

Soldan sağa yükselen doğru → m>0

Soldan sağa alçalan doğru → m<0

Yatay doğru → m=0

Dikey doğru → Eğim tanımsız

1. Yatay ve Dikey Doğrular

y=a biçimindeki doğrular yataydır.

Eğim=0

x=a biçimindeki doğrular dikeydir.

Eğim tanımsızdır.

1. Doğrunun Eğim-Kesen Denklemi

Doğru:

y=mx+n

şeklindeyse:

m → Eğim n → y eksenini kestiği değer

Örnek:

y=3x+5

Eğim=3

y-kesiği=5

1. Genel Doğru Denklemi

Genel biçim:

ax+by+c=0

Eğim:

m=−a/b

Örnek:

2x+y−5=0

y=−2x+5

m=−2

1. Bir Noktadan Geçen Doğru

Eğimi m olan ve (x₁,y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi:

y−y₁=m(x−x₁)

Örnek:

m=2 ve nokta (1,3)

y−3=2(x−1)

y=2x+1

1. İki Noktadan Geçen Doğru

Önce eğim bulunur.

A(1,2), B(3,6)

m=(6−2)/(3−1)=2

Sonra nokta-eğim formülü kullanılır:

y−2=2(x−1)

y=2x

1. x Eksenini Kestiği Nokta

x ekseninde:

y=0

Örnek:

y=2x−6

0=2x−6

x=3

Kesişim noktası:

(3,0)

1. y Eksenini Kestiği Nokta

y ekseninde:

x=0

Örnek:

y=3x+6

x=0 için:

y=6

Kesişim noktası:

(0,6)

1. Kesenler Formu

Doğru x eksenini (a,0), y eksenini (0,b) noktalarında kesiyorsa:

x/a+y/b=1

Örnek:

x eksenini 4, y eksenini 6'da kesen doğru:

x/4+y/6=1

1. Paralel Doğrular

Paralel doğruların eğimleri eşittir.

m₁=m₂

Örnek:

y=4x+2 doğrusuna paralel bütün doğruların eğimi 4'tür.

1. Dik Doğrular

Dik doğruların eğimlerinin çarpımı −1'dir.

m₁·m₂=−1

Örnek:

m₁=2 ise:

m₂=−1/2

1. Paralel Doğru Denklemi

y=2x+5 doğrusuna paralel ve (1,4) noktasından geçen doğru:

m=2

y−4=2(x−1)

y=2x+2

1. Dik Doğru Denklemi

y=3x+1 doğrusuna dik doğrunun eğimi:

m=−1/3

(2,4) noktasından geçiyorsa:

y−4=−1/3(x−2)

1. Noktanın Doğru Üzerinde Olması

Noktanın koordinatları doğru denkleminde yerine yazılır.

Örnek:

A(2,5), y=2x+1 doğrusu için:

5=2·2+1

5=5

Nokta doğru üzerindedir.

1. İki Doğrunun Kesişim Noktası

Denklemler birlikte çözülür.

Örnek:

y=x+2 y=−x+6

x+2=−x+6

x=2

y=4

Kesişim noktası:

(2,4)

1. Paralel Doğrular

y=m₁x+n₁ y=m₂x+n₂

m₁=m₂ ve n₁≠n₂ ise doğrular paraleldir ve kesişmez.

1. Çakışık Doğrular

Denklemleri birbirinin katı olan doğrular aynı doğruyu gösterir.

Örnek:

x+y−2=0

2x+2y−4=0

Bu iki denklem aynı doğruya aittir.

1. Eğim Açısı

Doğrunun pozitif x ekseniyle yaptığı açı α ise:

m=tanα

Örnek:

α=45°

m=tan45°=1

1. x Eksenine Göre Simetri

A(x,y) noktasının x eksenine göre simetriği:

A'(x,−y)

Örnek:

A(3,5) → A'(3,−5)

1. y Eksenine Göre Simetri

A(x,y) noktasının y eksenine göre simetriği:

A'(−x,y)

Örnek:

A(3,5) → A'(−3,5)

1. Orijine Göre Simetri

A(x,y) noktasının orijine göre simetriği:

A'(−x,−y)

Örnek:

A(4,−3) → A'(−4,3)

1. x=y Doğrusuna Göre Simetri

Koordinatlar yer değiştirir.

A(x,y) → A'(y,x)

Örnek:

A(2,5) → A'(5,2)

1. Eksenlerle Oluşan Üçgenin Alanı

Bir doğru eksenleri:

(a,0) ve (0,b)

noktalarında kesiyorsa oluşan üçgenin alanı:

Alan=|a·b|/2

Örnek:

(4,0) ve (0,6)

Alan=4·6/2=12

1. Parametreli Paralellik Soruları

Örnek:

y=(k−1)x+3

ve

y=2x−5

paralelse:

k−1=2

k=3

1. Parametreli Diklik Soruları

Örnek:

y=(k+1)x+2 doğrusunun eğimi k+1 olsun.

Diğer doğrunun eğimi 1/3 ve doğrular dikse:

(k+1)·1/3=−1

k+1=−3

k=−4

1. Eğimde İşaret

Eğim hesaplanırken pay ve paydada aynı nokta sırası kullanılmalıdır.

Doğru:

(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

veya:

(y₁−y₂)/(x₁−x₂)

Her iki yöntem de aynı sonucu verir.

1. Temel Formüller

İki nokta arası uzaklık:

√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

Orta nokta:

((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

Eğim:

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

Nokta-eğim denklemi:

y−y₁=m(x−x₁)

Eğim-kesen denklemi:

y=mx+n

Genel denklemde eğim:

m=−a/b

Paralel:

m₁=m₂

Dik:

m₁·m₂=−1

Sık Karıştırılan Noktalar

• Koordinat yazılırken önce x, sonra y gelir. • x ekseni üzerindeki noktada y=0'dır. • y ekseni üzerindeki noktada x=0'dır. • Yatay doğrunun eğimi 0'dır. • Dikey doğrunun eğimi tanımsızdır. • Paralel doğruların eğimleri eşittir. • Dik doğruların eğimlerinin çarpımı −1'dir. • y=mx+n denkleminde m eğim, n y-kesiğidir. • Genel doğru denkleminde x'in katsayısı doğrudan eğim değildir. • Uzaklık formülünde koordinat farklarının kareleri alınır. • Orta noktada x ve y koordinatları ayrı ayrı ortalanır.

Analitik Geometri Kısa Özeti

Orijin: O(0,0)

Bölgeler: I → (+,+) II → (−,+) III → (−,−) IV → (+,−)

Uzaklık: √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

Orta nokta: ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

Eğim: (y₂−y₁)/(x₂−x₁)

Doğru denklemi: y=mx+n

Nokta-eğim: y−y₁=m(x−x₁)

Paralel: m₁=m₂

Dik: m₁·m₂=−1

Yatay doğru: y=a → m=0

Dikey doğru: x=a → Eğim tanımsız

x ekseni kesişimi: y=0

y ekseni kesişimi: x=0