TYT Matematik Binom Ders Notu

Binom – Ders Notu

Temel Formül

(a+b)^n = Σ C(n,k)a^(n-k)b^k, k=0,1,...,n

Genel terim:

T_(k+1)=C(n,k)a^(n-k)b^k

Toplam terim sayısı n+1'dir.

Binom Katsayısı

C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]

Temel özellikler:

• C(n,0)=1
• C(n,n)=1
• C(n,1)=n
• C(n,k)=C(n,n-k)

Kuvvetlerin Düzeni

(a+b)^n açılımında:

• a'nın kuvveti n'den 0'a azalır.
• b'nin kuvveti 0'dan n'ye artar.
• her terimde üslerin toplamı n olur.

Belirli Terim

(k+1). terim istenirse genel terimde k kullanılır.

Örneğin 5. terim için k=4 alınır.

Belirli Kuvvetin Katsayısı

Genel terimde değişkenin kuvveti hedef kuvvete eşitlenir. Bulunan k ile C(n,k) ve diğer sabit çarpanlar hesaplanır.

Sabit Terim

Değişkenin üssünü 0'a eşitle.

Örneğin (x^2+1/x)^6 için:

x'in kuvveti 12-3k olur.

12-3k=0 → k=4

Sabit terim C(6,4)=15.

Katsayılar Toplamı

P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1)'dir.

Örneğin:

P(x)=(2x-3)^5

P(1)=(-1)^5=-1

Çift ve Tek Kuvvetli Katsayılar

Çift kuvvetli katsayılar toplamı:

[P(1)+P(-1)]/2

Tek kuvvetli katsayılar toplamı:

[P(1)-P(-1)]/2

Orta Terim

n çift → n+1 tek → 1 orta terim.

n tek → n+1 çift → 2 orta terim.

İşaret Kontrolü

(a-b)^n için genel terimde (-b)^k kullan. Böylece k'nın tek veya çift oluşuna göre işaret otomatik belirlenir.

Pascal Üçgeni

İlk satırlar:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Her satır ilgili binom açılımının katsayılarını verir.

Sık Hatalar

• Terim sayısını n almak.
• 5. terimde k=5 kullanmak.
• Sabit terimde x üssünü 1'e eşitlemek.
• Katsayı toplamı için x=0 yazmak.
• (a-b)^n açılımında negatif işareti unutmak.
• C(n,k)=C(n,n-k) simetrisini gözden kaçırmak.

Binom Kısa Özeti

Binom sorularında merkez araç genel terimdir. Belirli kuvvet ve sabit terim sorularında üs denklemi kur; katsayılar toplamında x=1 yaz; çift-tek katsayı toplamlarında x=1 ve x=-1'i birlikte kullan. Katsayıların simetrisi C(n,k)=C(n,n-k) şeklindedir.