TYT Matematik Fonksiyonlar Konu Anlatımı

Fonksiyonlar

Fonksiyon, bir kümenin her elemanını başka bir kümenin yalnızca bir elemanıyla eşleyen özel bir bağıntıdır. TYT’de fonksiyon sorularında tanım kümesi, görüntü, fonksiyon olma şartı, bileşke ve ters fonksiyon temel konulardır.

1. Fonksiyonun Gösterimi

A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon:

f: A → B

şeklinde gösterilir.

x elemanının görüntüsü:

f(x)

şeklinde yazılır.

1. Tanım Kümesi

Fonksiyonun giriş değerlerinin bulunduğu kümeye tanım kümesi denir.

f: A → B

ifadesinde:

A → tanım kümesi

B → değer kümesi [/KRITIK]

1. Görüntü Kümesi

Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altında ulaştığı değerlerin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.

1. Fonksiyonda Görüntü Bulma

Fonksiyon verilmişse x yerine istenen değer yazılır.

1. Negatif Değerlerde Fonksiyon

1. Fonksiyon Değeri Verildiğinde Bilinmeyen Bulma

1. Fonksiyonun Tanım Kümesini Bulma

Bazı fonksiyonlarda her gerçek sayı kullanılamaz.

Kesirli ifadelerde:

Payda sıfır olamaz.

1. Köklü Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Gerçek sayılarda çift dereceli kökün içi negatif olamaz.

1. Kesir ve Kök Birlikteyse

1. Sabit Fonksiyon

Her x değeri aynı sayıya gidiyorsa sabit fonksiyon vardır.

f(x)=c

1. Birim Fonksiyon

Her elemanı kendisine götüren fonksiyona birim fonksiyon denir.

1. Doğrusal Fonksiyon

Genel biçimi:

f(x)=ax+b

şeklindedir.

1. Bire Bir Fonksiyon

Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

1. Bire Bir Olmayan Fonksiyon

Farklı iki eleman aynı görüntüye gidiyorsa fonksiyon bire bir değildir.

1. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksiyon örtendir.

1. İçine Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesinin tamamını kapsamıyorsa içine fonksiyon denir.

Yani:

Görüntü kümesi ⊂ Değer kümesi [/KRITIK]

1. Fonksiyon Sayısı

s(A)=m

s(B)=n

ise A’dan B’ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı:

nᵐ

dir.

1. Bire Bir Fonksiyon Sayısı

A kümesinin m,

B kümesinin n elemanı olsun.

m ≤ n ise bire bir fonksiyon sayısı:

n·(n−1)·(n−2)·...

şeklinde m çarpanla bulunur.

1. Fonksiyonlarda Eşitlik

f ve g fonksiyonlarının eşit olması için aynı tanım kümesinde:

f(x)=g(x)

olmalıdır.

1. Fonksiyonlarda Toplama

(f+g)(x)

= f(x)+g(x)

1. Fonksiyonlarda Çıkarma

(f−g)(x)

= f(x)−g(x)

1. Fonksiyonlarda Çarpma

(f·g)(x)

= f(x)·g(x)

1. Fonksiyonlarda Bölme

(f/g)(x)

= f(x)/g(x)

Ancak:

g(x) ≠ 0

olmalıdır.

1. Bileşke Fonksiyon

Bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyona girdi olarak verilmesine bileşke denir.

f bileşke g:

(f∘g)(x)

= f(g(x))

1. g∘f Bileşkesi

1. Bileşkede Sayısal Değer

1. Birim Fonksiyon ile Bileşke

I(x)=x birim fonksiyonu olmak üzere:

f∘I = f

I∘f = f

1. Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun yaptığı eşlemeyi tersine çeviren fonksiyona ters fonksiyon denir.

f⁻¹

şeklinde gösterilir.

1. Ters Fonksiyon Bulma

Ters fonksiyon bulurken:

1. f(x) yerine y yaz.
2. x ile y’yi yer değiştir.
3. y’yi yalnız bırak.
4. y yerine f⁻¹(x) yaz.

1. Ters Fonksiyonun Kontrolü

1. Ters Fonksiyonda Tanım ve Görüntü

Bir fonksiyonun tersi alınırken:

Fonksiyonun tanım kümesi ↔ tersinin görüntü kümesi

Fonksiyonun görüntü kümesi ↔ tersinin tanım kümesi

yer değiştirir.

1. f⁻¹(x) ile 1/f(x) Aynı Değildir

1. Fonksiyon Grafiğini Okuma

Bir grafik fonksiyon olabilmek için aynı x değerine karşılık iki farklı y değeri vermemelidir.

1. Grafikten f(a) Bulma

Grafikte:

x=a

noktasından dikey gidilir.

Grafikle kesişilen noktanın y değeri:

f(a)

olur.

1. Fonksiyonun Sıfırı

f(x)=0

eşitliğini sağlayan x değerlerine fonksiyonun sıfırları denir.

1. Grafik ile Fonksiyonun Sıfırı

Fonksiyon grafiğinin x eksenini kestiği noktaların x koordinatları fonksiyonun sıfırlarını verir.

1. Parçalı Fonksiyon

Fonksiyon farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanabilir.

1. Fonksiyon Sorularında Denklem Kurma

1. Fonksiyon İçinde Fonksiyon

1. Fonksiyon Sorularında İşlem Sırası

Fonksiyon içinde başka bir fonksiyon varsa en içteki ifadeden başlanır.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü olmak zorundadır.

1. Bir eleman iki farklı görüntüye gidemez.

1. Farklı elemanlar aynı görüntüye gidebilir; bu durumda fonksiyon bire bir olmaz.

1. Görüntü kümesi ile değer kümesi aynı olmak zorunda değildir.

1. Payda sıfır olamaz.

1. Çift dereceli kökün içi negatif olamaz.

1. f∘g işleminde önce g uygulanır.

1. Genellikle f∘g ile g∘f aynı değildir.

1. f⁻¹(x) ile 1/f(x) aynı değildir.

1. Ters fonksiyon için bire bir ve örten olma şartı önemlidir.

1. Fonksiyon sayısı nᵐ formülüyle bulunurken m tanım kümesinin, n değer kümesinin eleman sayısıdır.

1. Parçalı fonksiyonda önce x’in hangi aralığa ait olduğu belirlenir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Tanım ve değer kümelerini belirle.

1. Fonksiyon olma şartlarını kontrol et.

1. f(a) sorusunda x yerine a yaz.

1. Tanım kümesi sorusunda payda ve kök kısıtlarını kontrol et.

1. Bileşkede sağdan sola ilerle.

1. Ters fonksiyonda x ve y’yi değiştirip y’yi yalnız bırak.

1. Grafik sorularında düşey doğru testini kullan.

1. Fonksiyonun sıfırı için f(x)=0 denklemini çöz.

Konu Özeti

Fonksiyon:

f:A→B

Görüntü:

f(x)

Fonksiyon olma şartı:

Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır.

Sabit fonksiyon:

f(x)=c

Birim fonksiyon:

f(x)=x

Fonksiyon sayısı:

s(A)=m

s(B)=n

ise:

nᵐ

Toplama:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Bileşke:

(f∘g)(x)=f(g(x))

Ters fonksiyon:

f⁻¹(x)

Ters fonksiyon kontrolü:

f(f⁻¹(x))=x

Tanım kümesi:

Payda ≠ 0

Çift dereceli kök içi ≥ 0

Fonksiyonun sıfırı:

f(x)=0