TYT Matematik Köklü Sayılar Ders Notu

Köklü Sayılar Ders Notu

Köklü ifadeler, üs alma işleminin tersini ifade eder. TYT'de köklü ifadelerde sadeleştirme, işlem yapma, payda rasyonelleştirme ve köklü denklemler sık karşılaşılan soru türleridir.

1. Karekökün Tanımı

a ≥ 0 olmak üzere:

√a

ifadesi, karesi a olan negatif olmayan sayıyı gösterir.

Örnek:

√25 = 5

√36 = 6

√0 = 0

Önemli:

√25 = 5 olur, −5 olmaz.

Ancak:

x² = 25

denkleminin çözümleri:

x = 5 ve x = −5

olur.

1. √(a²) Kuralı

Her gerçek sayı a için:

√(a²) = |a|

Örnek:

√((-4)²) = 4

Bu nedenle:

√(x²) = x

değil,

√(x²) = |x|

olur.

1. Tam Kare Sayılar

Sık kullanılan tam kareler:

1 = 1² 4 = 2² 9 = 3² 16 = 4² 25 = 5² 36 = 6² 49 = 7² 64 = 8² 81 = 9² 100 = 10² 121 = 11² 144 = 12² 169 = 13² 196 = 14² 225 = 15²

1. Kök Dışına Çıkarma

Kök içindeki tam kare çarpan dışarı çıkarılabilir.

√(a²b) = |a|√b

a pozitifse:

√(a²b) = a√b

Örnek:

√12

= √(4·3)

= 2√3

Örnek:

√72

= √(36·2)

= 6√2

1. Kök İçine Alma

Pozitif bir katsayı kök içine karesi alınarak alınır.

a√b = √(a²b)

Örnek:

3√5

= √45

1. Köklü İfadelerde Çarpma

a ≥ 0 ve b ≥ 0 olmak üzere:

√a · √b = √(ab)

Örnek:

√3 · √12

= √36

= 6

Katsayılı ifadelerde:

2√3 · 4√5

= 8√15

1. Köklü İfadelerde Bölme

b > 0 olmak üzere:

√a / √b = √(a/b)

Örnek:

√48 / √3

= √16

= 4

1. Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Yalnızca aynı köklü terimler toplanabilir.

a√x + b√x = (a+b)√x

Örnek:

3√2 + 5√2

= 8√2

Örnek:

7√3 − 2√3

= 5√3

Ancak:

√2 + √3

doğrudan birleştirilemez.

1. Önce Sadeleştirme

Toplama ve çıkarma işleminden önce köklü ifadeler sadeleştirilmelidir.

Örnek:

√12 + √27

= 2√3 + 3√3

= 5√3

1. Kök Derecesi

Genel biçim:

ⁿ√a

n → kök derecesi

a → kök içindeki sayı

Örnek:

³√8 = 2

çünkü:

2³ = 8

1. Tek ve Çift Dereceli Kökler

Çift dereceli köklerde gerçek sayılarda kök içi negatif olamaz.

Örnek:

√(−4)

gerçek sayılarda tanımsızdır.

Tek dereceli köklerde negatif sayılar kullanılabilir.

Örnek:

³√(−8) = −2

1. Üs ve Kök İlişkisi

a ≥ 0 olmak üzere:

ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)

Özellikle:

√a = a^(1/2)

³√a = a^(1/3)

1. Kök Derecelerini Eşitleme

Farklı dereceli köklü ifadelerde ortak kök derecesi kullanılabilir.

Örnek:

√2 = ⁶√(2³)

³√2 = ⁶√(2²)

Ortak derece bulunurken kök derecelerinin EKOK'u kullanılabilir.

1. Payda Rasyonelleştirme

Paydada tek köklü ifade varsa pay ve payda aynı köklü ifadeyle çarpılır.

Örnek:

1/√3

= √3/3

Örnek:

2/√5

= 2√5/5

1. Eşlenik İfadeler

a + √b ile a − √b birbirinin eşleniğidir.

Çarpımları:

(a + √b)(a − √b)

= a² − b

Örnek:

(3 + √5)(3 − √5)

= 9 − 5

= 4

1. Eşlenikle Rasyonelleştirme

Paydada toplam veya fark şeklinde köklü ifade varsa eşleniğiyle çarpılır.

Örnek:

1 / (2 + √3)

Pay ve paydayı:

2 − √3

ile çarparsak:

= (2 − √3) / [(2 + √3)(2 − √3)]

= 2 − √3

1. Köklü İfadelerin Karesi

(√a)² = a

Örnek:

(3√2)²

= 9·2

= 18

1. Toplam ve Farkın Karesi

(√a + √b)²

= a + b + 2√(ab)

(√a − √b)²

= a + b − 2√(ab)

Örnek:

(√3 + √2)²

= 3 + 2 + 2√6

= 5 + 2√6

1. Köklü İfadelerde Karşılaştırma

Pozitif köklü ifadeler kareleri karşılaştırılarak sıralanabilir.

Örnek:

√7 < √10

çünkü:

7 < 10

Katsayılı ifadelerde:

2√3 ve 3√2

Kareleri:

12 ve 18

olduğundan:

2√3 < 3√2

1. Köklü Denklemler

Köklü ifade yalnız bırakılır ve uygun durumda her iki tarafın karesi alınır.

Örnek:

√(x + 1) = 3

x + 1 = 9

x = 8

Bulunan sonuç başlangıç denkleminde kontrol edilmelidir.

1. Tanım Koşulu

Çift dereceli kök içi negatif olamaz.

Örnek:

√(x − 4)

ifadesinin tanımlı olması için:

x − 4 ≥ 0

x ≥ 4

1. İç İçe Kökler

Bazı ifadeler iki köklü terimin toplamı veya farkı biçiminde yazılabilir.

Örnek:

√(5 + 2√6)

= √3 + √2

Çünkü:

3 + 2 = 5

3·2 = 6

1. Yaklaşık Değer

Bir sayı iki tam kare arasındaysa karekökü de bu sayıların karekökleri arasındadır.

Örnek:

16 < 20 < 25

olduğundan:

4 < √20 < 5

Sık Karıştırılan Noktalar

• √(a²) = |a| olur.

• √a sonucu negatif olmaz.

• √a + √b genel olarak √(a+b)'ye eşit değildir.

• Toplama ve çıkarmadan önce köklü ifadeler sadeleştirilmelidir.

• Çift dereceli kök içinde negatif sayı gerçek sayı vermez.

• Paydada tek kök varsa aynı kökle, toplam-fark varsa eşlenikle rasyonelleştirme yapılır.

• Köklü denklemlerde karesini aldıktan sonra bulunan sonuç kontrol edilmelidir.

Köklü Sayılar Kısa Özeti

√(a²) = |a|

√a · √b = √(ab)

√a / √b = √(a/b)

a√x + b√x = (a+b)√x

a√b = √(a²b)

√a = a^(1/2)

ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)

a + √b ile a − √b eşleniktir.

Çift dereceli köklerde kök içi ≥ 0 olmalıdır.

Köklü denklemlerde tanım koşulu ve çözüm kontrolü unutulmamalıdır.