TYT Matematik Mantık Ders Notu

Mantık Ders Notu

Mantık; önermelerin doğruluk değerlerini ve önermeler arasındaki ilişkileri inceler.

1. Önerme

Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak belirlenebilen cümlelere önerme denir.

Doğru → 1

Yanlış → 0

Örnek:

“2+3=5” → Doğru

“7 çift sayıdır.” → Yanlış

1. Önerme Olmayan Cümleler

Soru, emir, dilek ve kesin doğruluk değeri bulunmayan ifadeler önerme değildir.

Örnek:

“Kapıyı kapat.”

önerme değildir.

1. Önermelerin Gösterimi

Önermeler genellikle:

p, q, r

harfleriyle gösterilir.

Örnek:

p: “5 asal sayıdır.”

p = 1

1. Değilleme

p önermesinin değili:

¬p

şeklinde gösterilir.

p = 1 ise:

¬p = 0

p = 0 ise:

¬p = 1

Çift değilleme:

¬(¬p) ≡ p

1. Ve Bağlacı

p ve q:

p ∧ q

şeklinde gösterilir.

p ∧ q yalnızca iki önerme de doğruysa doğrudur.

p | q | p ∧ q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 0

0 | 1 | 0

0 | 0 | 0

1. Veya Bağlacı

p veya q:

p ∨ q

şeklinde gösterilir.

p ∨ q yalnızca iki önerme de yanlışsa yanlıştır.

p | q | p ∨ q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 1

0 | 1 | 1

0 | 0 | 0

1. Ya Da Bağlacı

“p ya da q” yalnızca önermelerden biri doğruysa doğrudur.

p | q | p ya da q

1 | 1 | 0

1 | 0 | 1

0 | 1 | 1

0 | 0 | 0

“Veya” ile “ya da” aynı değildir.

1. Koşullu Önerme

“p ise q”:

p ⇒ q

şeklinde gösterilir.

Yalnızca:

p = 1

q = 0

durumunda yanlıştır.

p | q | p ⇒ q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 0

0 | 1 | 1

0 | 0 | 1

1. Koşullu Önermede Gerekli ve Yeterli Şart

p ⇒ q ifadesinde:

p → yeter şart

q → gerekli şart

olarak ifade edilir.

1. Tersi

p ⇒ q önermesinin tersi:

q ⇒ p

1. Karşıtı

p ⇒ q önermesinin karşıtı:

¬p ⇒ ¬q

1. Karşıt Tersi

p ⇒ q önermesinin karşıt tersi:

¬q ⇒ ¬p

Önemli:

p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p

Yani bir koşullu önerme ile karşıt tersi denktir.

1. İki Yönlü Koşullu Önerme

“p ancak ve ancak q”:

p ⇔ q

şeklinde gösterilir.

p ⇔ q, p ve q aynı doğruluk değerine sahipse doğrudur.

p | q | p ⇔ q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 0

0 | 1 | 0

0 | 0 | 1

Ayrıca:

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

1. Bileşik Önermeler

Birden fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle bileşik önerme oluşur.

Örnek:

(p ∧ q) ∨ r

1. Doğruluk Tablosunda Satır Sayısı

n farklı önerme varsa:

2ⁿ

satır bulunur.

Örnek:

2 önerme → 4 satır

3 önerme → 8 satır

4 önerme → 16 satır

1. De Morgan Kuralları

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

De Morgan uygulanırken:

• Her önerme değillenir.

• Ve bağlacı veya olur.

• Veya bağlacı ve olur.

1. Temel Denklikler

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

p ∧ 1 ≡ p

p ∨ 0 ≡ p

p ∧ 0 ≡ 0

p ∨ 1 ≡ 1

1. Her Zaman Doğru İfade

p ∨ ¬p ≡ 1

Bu ifade her zaman doğrudur.

1. Her Zaman Yanlış İfade

p ∧ ¬p ≡ 0

Bu ifade her zaman yanlıştır.

1. Totoloji

Her durumda doğru olan bileşik önermeye totoloji denir.

Örnek:

p ∨ ¬p

1. Çelişki

Her durumda yanlış olan bileşik önermeye çelişki denir.

Örnek:

p ∧ ¬p

1. Denk Önermeler

Her durumda aynı doğruluk değerini alan önermeler denktir.

Denklik:

≡

sembolüyle gösterilir.

Önemli denklik:

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

1. Koşullu Önermenin Değili

¬(p ⇒ q)

ifadesi:

p ∧ ¬q

ifadesine denktir.

Yani:

¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q

1. Niceleyiciler

“Her” ifadesi:

∀

“En az bir” ifadesi:

∃

sembolüyle gösterilir.

Örnek:

∀x ∈ R, x² ≥ 0

1. Her Niceleyicisinin Değili

¬(∀x P(x))

ifadesi:

∃x ¬P(x)

ifadesine denktir.

Yani:

“Her x için doğrudur.”

ifadesinin değili:

“En az bir x için doğru değildir.”

1. En Az Bir Niceleyicisinin Değili

¬(∃x P(x))

ifadesi:

∀x ¬P(x)

ifadesine denktir.

1. Sözel İfadeleri Sembolleştirme

p: Ali çalışkandır.

q: Ali düzenlidir.

“Ali çalışkan ve düzenlidir.”

p ∧ q

“Ali çalışkan veya düzenlidir.”

p ∨ q

“Ali çalışkansa başarılıdır.”

p ⇒ q

1. Doğruluk Tablosu Çözme Sırası

1. Farklı önermeleri belirle.

1. 2ⁿ satırı oluştur.

1. p, q, r doğruluk değerlerini yaz.

1. Parantez içlerinden başla.

1. Bağlaçları sırayla uygula.

1. Son sütunu bul.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Her cümle önerme değildir.

• p ∧ q yalnızca iki önerme de doğruysa doğrudur.

• p ∨ q yalnızca iki önerme de yanlışsa yanlıştır.

• “Veya” ile “ya da” aynı değildir.

• p ⇒ q yalnızca 1 ⇒ 0 durumunda yanlıştır.

• p ⇔ q aynı doğruluk değerlerinde doğrudur.

• p ⇒ q ile q ⇒ p aynı değildir.

• p ⇒ q ile ¬q ⇒ ¬p denktir.

• De Morgan uygulanırken bağlaç değişir.

• n önermeli doğruluk tablosunda 2ⁿ satır bulunur.

Mantık Kısa Özeti

Önerme:

Doğru veya yanlış olduğu kesin belirlenebilen cümle.

Değil:

¬p

Ve:

p ∧ q

Yalnızca 1,1 durumunda doğru.

Veya:

p ∨ q

Yalnızca 0,0 durumunda yanlış.

Koşullu:

p ⇒ q

Yalnızca 1 ⇒ 0 durumunda yanlış.

İki yönlü koşul:

p ⇔ q

Doğruluk değerleri aynıysa doğru.

De Morgan:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Koşullu önerme:

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

Karşıt tersi:

p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p

Koşullu önermenin değili:

¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q

Doğruluk tablosu satır sayısı:

2ⁿ