TYT Matematik Üslü Sayılar Ders Notu

Üslü Sayılar Ders Notu

Üslü ifadeler, aynı sayının tekrarlı çarpımını kısa şekilde göstermeyi sağlar.

1. Üslü İfadenin Tanımı

aⁿ ifadesinde:

a → taban n → üs

n pozitif tam sayı olmak üzere:

aⁿ = a · a · a · ... · a

Örnek:

2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

1. Temel Kurallar

a ≠ 0 olmak üzere:

a⁰ = 1

a¹ = a

Örnek:

5⁰ = 1

7¹ = 7

1. Aynı Tabanlı Üslü Sayılarda Çarpma

Tabanlar aynıysa üsler toplanır:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Örnek:

2³ · 2⁵ = 2⁸ = 256

1. Aynı Tabanlı Üslü Sayılarda Bölme

a ≠ 0 olmak üzere:

aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Örnek:

3⁷ / 3⁴ = 3³ = 27

1. Üssün Üssü

Bir üslü ifadenin yeniden üssü alınırsa üsler çarpılır:

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Örnek:

(2³)⁴ = 2¹²

1. Çarpımın ve Bölümün Üssü

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Örnek:

(2 · 3)² = 2² · 3² = 36

1. Negatif Üs

a ≠ 0 olmak üzere:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Örnek:

2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8

Ayrıca:

1 / a⁻ⁿ = aⁿ

Önemli:

Negatif üs, sonucun negatif olduğu anlamına gelmez.

1. Negatif Taban

Negatif tabanın sonucu üssün tek veya çift olmasına göre değişir.

(−a)çift sayı = pozitif

(−a)tek sayı = negatif

Örnek:

(−2)⁴ = 16

(−2)³ = −8

Parantez kullanımına dikkat edilmelidir:

(−2)⁴ = 16

−2⁴ = −16

1. Sıfırın Üsleri

n pozitif tam sayı ise:

0ⁿ = 0

Ancak:

0⁰ tanımsız kabul edilir.

Negatif üslerde taban 0 olamaz.

1. 1 ve −1'in Üsleri

1ⁿ = 1

(−1)ⁿ için:

n çift ise sonuç 1

n tek ise sonuç −1

Örnek:

(−1)⁸ = 1

(−1)⁵ = −1

1. Tabanları Eşitleme

Üslü denklemlerde mümkünse ifadeler aynı tabanda yazılır.

Örnek:

8ˣ = 2¹²

8 = 2³ olduğundan:

(2³)ˣ = 2¹²

2³ˣ = 2¹²

3x = 12

x = 4

a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere:

aˣ = aʸ

ise:

x = y

1. Sık Kullanılan Dönüşümler

4 = 2²

8 = 2³

16 = 2⁴

32 = 2⁵

64 = 2⁶ = 4³ = 8²

9 = 3²

27 = 3³

81 = 3⁴ = 9²

25 = 5²

125 = 5³

Bu dönüşümler üslü denklemlerde işlemi hızlandırır.

1. Üslü Sayılarda Karşılaştırma

Taban aynı ve 1'den büyükse üs büyüdükçe sayı büyür.

Örnek:

2⁶ > 2⁴

0 < a < 1 olduğunda ise üs büyüdükçe değer küçülür.

Örnek:

(1/2)³ > (1/2)⁵

1. Aynı Üslü İfadelerde Karşılaştırma

Üsler aynıysa uygun durumlarda tabanlar karşılaştırılır.

Örnek:

3⁴ < 5⁴

Ancak negatif taban ve üssün tek-çift olması durumunda işaret mutlaka dikkate alınmalıdır.

1. Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Genel olarak:

aᵐ + aⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ

aᵐ − aⁿ ≠ aᵐ⁻ⁿ

Toplama ve çıkarmada üs kuralları doğrudan uygulanmaz.

Örnek:

2³ + 2⁵

= 2³(1 + 2²)

= 8 · 5

= 40

1. Ortak Çarpan Kullanımı

Üslü ifadelerde ortak olan en küçük kuvvet paranteze alınabilir.

Örnek:

3⁵ + 3⁷

= 3⁵(1 + 3²)

= 3⁵ · 10

1. Kesirli Tabanlar

Kesrin tamamının üssü alınır:

(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Örnek:

(2/3)³ = 8/27

Negatif üs varsa kesir ters çevrilebilir:

(2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4

1. Bilimsel Gösterim

Bir sayı:

a · 10ⁿ

şeklinde yazılır.

Burada:

1 ≤ |a| < 10

Örnek:

450000 = 4,5 · 10⁵

0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴

1. Bilimsel Gösterimde İşlemler

Çarpma yapılırken katsayılar çarpılır, 10'un üsleri toplanır.

Örnek:

(2 · 10³)(3 · 10⁴)

= 6 · 10⁷

Bölmede ise üsler çıkarılır.

1. Sık Karıştırılan Noktalar

• aᵐ · aⁿ işleminde üsler toplanır.

• aᵐ / aⁿ işleminde üsler çıkarılır.

• (aᵐ)ⁿ işleminde üsler çarpılır.

• a⁻ⁿ = 1/aⁿ olur.

• a⁰ = 1 kuralında a ≠ 0 olmalıdır.

• (−2)⁴ ile −2⁴ aynı değildir.

• Toplama ve çıkarmada üsler doğrudan birleştirilmez.

• 0 < a < 1 olduğunda üs büyüdükçe değer küçülür.

Üslü Sayılar Kısa Özeti

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

a⁰ = 1, a ≠ 0

(−a)çift üs → pozitif

(−a)tek üs → negatif

Aynı tabanlı üslü denklemlerde üsler eşitlenir.

Bilimsel gösterimde sayı a · 10ⁿ biçiminde ve 1 ≤ |a| < 10 şartıyla yazılır.