10. Sınıf Matematik Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları Ders Notu

Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları – Ders Notu

Temel Kurallar

• Tersi bulma: y = f(x) ⇒ x ile y yer değiştirir ⇒ y yalnız bırakılır.
• Tersin fonksiyon olması için f bire bir ve örten olmalı.
• f: A → B ⇒ f⁻¹: B → A; f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a.
• f⁻¹ grafiği, f grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği.

Doğrusal

• f(x) = ax + b (a ≠ 0) ⇒ f⁻¹(x) = (x − b)/a; tersi de doğrusal.
• Soğutucu: x − 12 ⇒ x + 12; [−4, 18] → [−16, 6] tersinde yer değiştirir.
• Taksimetre: 30x + 50 ⇒ (x − 50)/30.

Rasyonel

• 1/x: ℝ − {0} → ℝ − {0}, tersi kendisi.
• a/(x + r) + k ⇒ a/(x − k) − r; ℝ − {−r} → ℝ − {k}.
• 1/x + 2 ⇒ 1/(x − 2).

Karesel

• x²: ℝ'de bire bir değil ⇒ tanım kümesi sınırlandırılır.
• [0, ∞) → [0, ∞): tersi √x; (−∞, 0] → [0, ∞): tersi −√x.
• x² − 4: [0, ∞) için √(x + 4), (−∞, 0] için −√(x + 4).
• h(t) = t² + 2 ⇒ t = √(h − 2).

Karekök

• √x: [0, ∞) → [0, ∞), tersi x² (x ≥ 0).
• √(x + r) + k ⇒ (x − k)² − r; tersin tanım kümesi [k, ∞).

Kısa Özet

Ters fonksiyon, işlemi geri alan fonksiyondur; uygun tanım ve değer kümeleri seçilerek doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonların tersi bulunur.