10. Sınıf Matematik Karesel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri Ders Notu

Karesel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri – Ders Notu

Referans Fonksiyon f(x) = x²

• Tanım ℝ, görüntü [0, ∞); sıfırı 0.
• (−∞, 0] azalan, [0, ∞) artan; minimum 0 (x = 0), maksimum yok.
• Çift fonksiyon, simetri doğrusu x = 0; bire bir ve örten değil.

Dönüşümler: g(x) = a(x + r)² + k

• |a| > 1 dikey germe, 0 < |a| < 1 dikey sıkıştırma, a < 0 x eksenine göre simetri.
• r > 0: sola r birim; r < 0: sağa |r| birim.
• k > 0: yukarı; k < 0: aşağı.
• Tepe (−r, k), simetri doğrusu x = −r.

Nitel Özellikler

• a > 0: görüntü [k, ∞); (−∞, −r] azalan, [−r, ∞) artan; minimum k.
• a < 0: görüntü (−∞, k]; (−∞, −r] artan, [−r, ∞) azalan; maksimum k.
• ℝ'de bire bir de örten de değil.

Tamkareye Tamamlama

• x² + 4x = (x + 2)² − 4 ⇒ sıfırlar 0 ve −4, minimum −4.
• x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1 ⇒ sıfırı yok.
• −0,1x² + 4x + 20 = −0,1(x − 20)² + 60.

Kısıtlı Aralık

• Tepe aralıktaysa ekstremum tepede; değilse uçlarda.
• x² için [−3, 2] ⇒ [0, 9]; (−1, 2) ⇒ [0, 4).

Optimizasyon

• Gelir: (120 + 10x)(200 − 20x) = −200(x + 1)² + 24 200 ⇒ 110 TL'de 24 200 TL.
• Çevresi 400 olan dikdörtgen ⇒ en büyük alan 10 000 m² (kare).

Kısa Özet

Karesel fonksiyonların tüm nitel özellikleri tepe noktası ve a'nın işaretinden okunur.