Basit Harmonik Hareket Ders Notu

Basit Harmonik Hareket — Ders Notu

1. Hareketin tanımı ve BHH ölçütleri

**Titreşim:** Denge çevresinde ileri-geri salınım. **Periyodik hareket:** Belli zaman aralıklarında tekrar eden hareket. **Basit harmonik hareket:** Net geri çağırıcı kuvvetin uzanımla orantılı ve her zaman dengeye yöneldiği ideal periyodik harekettir. Her BHH periyodiktir; her periyodik hareket BHH değildir. Dünya'nın Güneş çevresinde dolanması kitapta bu ayrıma örnektir. Bir yay ucu, gitar teli ve küçük açılı salıncak uygun, sürtünmesiz koşullarda BHH örnekleri olabilir.

İdeal salınım için: (1) geri çağırıcı kuvvet uzanımla orantılı, (2) ivme de uzanımla orantılı, (3) ivme dengeye yönelmiş, (4) sürtünme ihmal edilip mekanik enerji korunur. Sürtünmeli gerçek hareketin genliği zamanla azalabilir.

2. Çembersel hareket–BHH eşleştirmesi

Düşey düzlemde sabit açısal hızla dönen cismin bir doğrultudaki **gölgesi/izdüşümü BHH yapar**. Çemberin yarıçapı izdüşümün genliğidir. Açısal hızla dönem ve frekans arasındaki ilişkiler:

• **ω=2π/T=2πf**; **T=2π/ω**.
• **f=1/T** (Hz), **T=1/f** (s).
• Aynı ω için genlik değişse de periyot değişmez. ω iki katına çıkarsa T yarıya, f iki katına çıkar.

**Örnek:** π=3, ω=4 rad/s için T=6/4=1,5 s; f=2/3 Hz. Yarıçap 0,2 m'den 0,4 m'ye çıkarılırsa yalnız genlik iki katına çıkmış olur.

3. Hareketi tarif eden temel nicelikler

• **Denge noktası O:** Geri çağırıcı net kuvvetin sıfır olduğu konum (x=0).
• **Genlik A:** Dengeye en uzak konumun uzaklığı; uçlar −A ve +A'dır. Kitap genliği r ile de gösterir.
• **Uzanım x:** Dengeye göre anlık konum; −A≤x≤A. Uzanımın büyüklüğü |x|, yön dikkate alındığında x işaretli olabilir.
• **Periyot T:** Aynı konumdan aynı yönde bir sonraki geçişe kadar bir tam salınımın süresi.
• **Frekans f:** Birim zamandaki tam salınım sayısı.

**Yol/uzanım ayrımı:** Uçtan uca alınan yol **2A**; bir tam salınımda alınan yol **4A**. Tam salınımın net yer değiştirmesi sıfırdır.

**Örnek:** Sol ve sağ uçları arasındaki toplam mesafe 1,8 m ise A=0,9 m ve tam turdaki yol 3,6 m'dir.

4. Önemli geçiş süreleri

Uçta durgun başlayıp dengeye ilerleyen cisim için:

| Yol | Süre | |---|---| | −A → 0 | T/4 | | −A → +A | T/2 | | −A → +A → −A | T | | −A → −A/2 | T/6 | | −A/2 → 0 | T/12 | | 0 → +A/2 (dengeyi + yönde geçerse) | T/12 | | +A/2 → +A | T/6 |

**Gerekçe:** Cismin sürati uçta sıfır, dengeye yaklaşırken artar. Bu nedenle aynı uzunluktaki iki aralık farklı sürelerde geçilir. Periyot hesabında toplam zamandan T'nin tam katları çıkarılır; kalan süre başlangıç konumu ve yönüyle değerlendirilir.

5. Konum-zaman grafiği

Konum zamana göre sinüs benzeri periyodik eğri biçiminde değişir. Grafiğin en üst ve alt konumları sırasıyla +A ve −A, denge kesişimleri x=0'dır. Aynı konuma ve aynı hareket yönüne geri dönüş bir periyottur. Bir tepe noktasından sonraki aynı tür tepe noktasına kadar geçen süre T olarak okunabilir. x–t grafiği **yükseliyorsa v pozitif yönlü**, düşüyorsa negatif yönlüdür. Uç noktada yatay teğet olması v=0 ile ilişkilidir.

6. Kuvvet, ivme ve hızın uzanımla ilişkisi

**Geri çağırıcı kuvvet:** **F=−mω²x**. Büyüklük **|F|=mω²|x|**, maksimum büyüklük **F_max=mω²A**. F–x grafiği orijinden geçen negatif eğimli doğrudur. Eksi işareti yönü açıklar: +x tarafında F negatif; −x tarafında F pozitiftir.

**İvme:** **a=F/m=−ω²x**. Büyüklük **|a|=ω²|x|**, maksimum büyüklük **a_max=ω²A**. a–x grafiği de negatif eğimli doğrudur. İvme her zaman dengeye doğru; hız ise bazen dengeye bazen dengeden uzağa yönelir.

**Sürat:** **|v|=ω√(A²−x²)**. En büyük sürat **v_max=ωA**. Dengede en büyük, uçlarda sıfırdır. Aynı |x| için sürat büyüklüğü aynı, hareketin gidiş ve dönüş yönleri farklı olabilir.

| Nokta | |v| | |a| | |F| | |---|---|---|---| | Sol uç (−A) | 0 | Maksimum | Maksimum | | Denge (0) | Maksimum | 0 | 0 | | Sağ uç (+A) | 0 | Maksimum | Maksimum |

**Örnek:** A=0,5 m, T=3 s, π=3 ⇒ ω=2 rad/s. x=0,3 m için sürat 2√(0,25−0,09)=0,8 m/s; ivme büyüklüğü 2²·0,3=1,2 m/s². m=5 kg ise kuvvet büyüklüğü 5·1,2=6 N. x pozitifken kuvvet ve ivme negatiftir.

7. Yay sarkacı: Hooke Yasası ve periyot

Yayın geri çağırıcı kuvveti Hooke Yasası'yla **F=−kx**'tir. BHH bağıntısı ile eşitlenince **mω²=k** ve **T=2π√(m/k)** bulunur. f=(1/2π)√(k/m). Burada m kilogram, k N/m alınır.

• m artarsa periyot artar (T∝√m).
• k artarsa periyot azalır (T∝1/√k).
• Genlik değişmesi ideal yay periyodunu değiştirmez; maksimum hız ve ivmeyi etkiler.
• g değişmesi yay sarkacının periyodunu değiştirmez; özellikle düşey yayda denge uzamasını değiştirebilir.
• Düşey yay için dengedeki statik uzama: **mg=kΔl**. Buradaki Δl, genlik A değildir.

**Örnek:** İlk m ve k yerine 4m ve 9k kullanılırsa T_yeni/T_ilk=√(4/9)=2/3. Yayın daha sert olması, ek kütlenin etkisinden güçlü olmuştur.

8. Seri ve paralel yay sistemleri

**Seri bağlantı:** Aynı kuvvet tüm yaylarda etkili, uzamalar toplanır. **1/k_eş=1/k₁+1/k₂+...**. Özdeş iki k yay ⇒ **k_eş=k/2** ⇒ aynı m için T_serie=√2·T_tek.

**Paralel bağlantı:** Uzamalar aynı, kuvvetler toplanır. **k_eş=k₁+k₂+...**. Özdeş iki k yay ⇒ **k_eş=2k** ⇒ aynı m için T_paralel=T_tek/√2.

**Yayın kesilmesi:** Bir yay eşit iki parçaya ayrılınca her yarının yay sabiti 2k olur; iki yarı paralel bağlanırsa toplam 4k ve periyot T/2 olur.

**Örnek — Karışık sistem:** 6k ve 3k seri ⇒ k_eş=(6k·3k)/(9k)=2k; bunlara paralel 2k eklenirse toplam k_eş=4k. T=2π√(m/(4k)) bulunur. Önce fiziksel bağlantıyı çizmek bu tür sorularda gereklidir.

**Örnek — Kütleleri birleştirme:** Aynı k ile tek tek ölçülen T₁=3 s ve T₂=4 s için iki kütle birlikte asılırsa T_toplam=√(3²+4²)=5 s. Farklı yay sabitlerinde bu kısa yol geçerli değildir.

9. Küçük açılı basit sarkaç

İpin ucundaki cismin geri çağırıcı kuvveti ağırlığının salınım yoluna teğet bileşenidir. Kitap **θ<5°** koşulunda sinθ≈x/L yaklaşımını kullanır. **T=2π√(L/g)** ve **ω²=g/L** sonucu bulunur.

• L artarsa T artar (T∝√L).
• g artarsa T azalır (T∝1/√g).
• Kütle değişse de T değişmez.
• Küçük açı sınırları içinde genlik değişmesi periyodu değiştirmez.
• Uçta v=0, dengede sürat en büyük değerdedir.

**Örnek:** L dokuz katına, g dört katına çıkarsa T_yeni/T_ilk=√(9/4)=3/2. İp uzunluğunu 4 katına çıkarmak tek başına T'yi 2 katına çıkarır.

10. Fiziksel uygulamalar ve karşılaştırma

**Foucault sarkacı:** Uzun sarkacın salınım düzleminin gözlenen değişimi Dünya'nın kendi ekseni çevresinde döndüğüne bilimsel kanıt sağlar. **Yapılarda titreşim:** Depremin zorlayıcı frekansı ile binanın doğal salınım frekansının rezonans oluşturması yapısal hasara neden olabilir. **Uzayda kütle ölçümü:** Yay ve periyot ölçümüyle **m=kT²/(4π²)** bulunabilir; bilinen sandalye kütlesi çıkarılarak kişinin kütlesi hesaplanabilir.

11. Sınavda hata yapmamak için denetim

1. **Uzanım–genlik:** −A ve +A uçları arasındaki mesafe 2A'dır.
2. **Yön–büyüklük:** F=−mω²x yönlü; |F|=mω²|x| büyüklük bağıntısıdır.
3. **Hız–ivme:** Uçta hız sıfır ve ivme maksimum; dengede tam tersidir.
4. **T/6–T/12:** Uç ile A/2 arası daha uzun sürer, A/2 ile denge daha kısa.
5. **Yay–ip:** T_yay kütleye bağlı, yer çekimi ivmesine bağlı değil; T_basit sarkaç bunun tersidir.
6. **Seri–paralel:** Seride k_eş küçülür ve T artar; paralelde k_eş büyür ve T azalır.
7. **Basit sarkaç küçük açı:** θ<5° koşulunu incelemeden genlik bağımsızlığını genelleme.

Kısa Özet

Düzgün çembersel hareketin izdüşümü BHH yapar. **T=2π/ω**, **f=1/T**, **F=−mω²x**, **a=−ω²x**, **|v|=ω√(A²−x²)**. Genlik uçlara uzaklıktır, denge x=0'dır. Uçta v=0, dengede |v| maksimumdur. Yay sarkacında **T=2π√(m/k)**; küçük açılı basit sarkaçta **T=2π√(L/g)** kullanılır. Çoklu yayda önce **k_eş** hesaplanır. Zaman sorularında başlangıç konumu ve yön, kuvvet sorularında yön işareti belirleyicidir.