9. Sınıf Matematik Geometrik Dönüşümler Ders Notu

Geometrik Dönüşümler – Ders Notu

Geometrik dönüşümler (yansıma, öteleme, dönme) düzlemdeki noktaları bire bir eşler ve noktalar arası uzaklığı korur. Bu nedenle kenar uzunlukları, açı ölçüleri, çevre ve alan değişmez; şekil ile görüntüsü eştir.

Yansıma

Her noktanın yansıma doğrusuna göre simetriği alınır.

• Nokta ve görüntüsü doğruya eşit uzaklıkta; birleştiren doğru parçası doğruya dik.
• Bu doğru parçaları birbirine paralel ama uzunlukları farklı olabilir (doğruya uzaklığın iki katı).
• Doğru üzerindeki noktalar yerinde kalır.
• Şeklin yönü ters döner.
• Simetrik şekil, simetri eksenine göre yansıyınca kendisiyle çakışır; yeri ve yönü değişmez.

Öteleme

Tüm noktalar aynı doğrultu, yön ve uzaklıkta kaydırılır (örnek: 6 birim sağa, 8 birim aşağı).

• Bileşenler: doğrultu, yön, uzaklık.
• Yer değişir, yön değişmez.
• Tüm noktalar görüntülerine eşit uzaklıkta; birleştiren doğru parçaları paralel ve eşit.

Yansıma–öteleme farkı: ötelemede nokta-görüntü uzaklıkları eşit ve yön korunur; yansımada uzaklıklar farklı ve yön ters. Kenar/açı eşitliği türü belirlemeye yetmez.

Art Arda Yansıma

• Paralel iki doğru: sonuç öteleme. Miktar = 2 × doğrular arası uzaklık; doğrulara dik doğrultuda, ilk doğrudan ikinciye doğru. (3 birim aralık → 6 birim öteleme.)
• Kesişen iki doğru: sonuç dönme. Merkez = kesim noktası; açı = 2 × doğrular arası açı. (35° → 70°.)

Dönme

Bileşenler: dönme merkezi, dönme açısı (ve yön: saat yönü / tersi).

• Nokta ve görüntüsü merkeze eşit uzaklıkta.
• Nokta–merkez–görüntü açısı dönme açısına eşit.
• Merkez yerinde kalır; noktalar çembersel yol izler.
• Nokta-görüntü doğru parçaları paralel değildir ve uzunlukları farklıdır.

Örnek: 12 motifli yıldız süslemesinde her dönme 360° / 12 = 30°; bu dönme 15°'lik açıyla kesişen iki doğruya göre art arda yansımayla elde edilir.

Dönüşümü Tanıma

• Paralel + eşit + yön korunmuş → öteleme.
• Paralel + farklı uzunluk + yön ters → yansıma.
• Paralel değil + ortak merkeze eşit uzaklık → dönme.

Süslemelerde öteleme ve dönmeler, uygun doğrulara göre yansımalarla da oluşturulabilir.

Kısa Özet

Üç dönüşüm de eşlik dönüşümüdür. Yansıma yönü çevirir, öteleme kaydırır, dönme bir merkez etrafında döndürür. Paralel doğrulara göre iki yansıma öteleme, kesişen doğrulara göre iki yansıma dönmedir; miktar ve açı iki katına çıkar.