9. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik Problemleri Konu Anlatımı

Eşlik ve Benzerlik Problemleri

İğne deliği kamerası (karanlık kutu), fotoğraf makinesinin en eski biçimidir. Işık geçirmeyen bir kutunun bir yüzüne küçük bir delik açılır; dışarıdaki bir nesneden gelen ışık bu delikten geçerek karşı yüzeye düşer ve orada nesnenin baş aşağı bir görüntüsü oluşur. Nesne ile görüntüsü, delikte kesişen ışınlarla birlikte iki benzer üçgen oluşturur. Bu yüzden nesnenin boyu ve uzaklıkları bilinirse görüntünün boyu hesaplanabilir.

Bir binanın yüksekliğini bulmak, bir nehrin genişliğini ölçmek, bir haritayı ölçeklendirmek, gölgelerin uzunluğunu hesaplamak gibi pek çok problem, üçgenlerin eşlik ve benzerlik koşulları ile bu koşullardan elde edilen Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri kullanılarak çözülür. Bu konuda bu tür problemleri planlı bir şekilde çözmeyi öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir problemde verilenleri ve istenenleri belirleyip aralarındaki ilişkileri ortaya koymak,
• problemi geometrik bir şekille modellemek,
• modeldeki eş veya benzer üçgenleri gerekçesiyle belirlemek,
• uygun koşul veya teoremi (benzerlik oranı, Tales, Öklid, Pisagor) seçip problemi çözmek,
• çözümü kontrol etmek ve farklı stratejileri karşılaştırmak,
• kullanılan stratejinin başka hangi durumlarda işe yarayacağını değerlendirmek.

1. Problem Çözme Adımları

Gerçek hayattan bir problem, genellikle bir şekil olmadan sözel olarak verilir. Çözüm için aşağıdaki adımlar izlenir:

1. Problemi anlama: Sayısal verileri (uzunluklar, açılar, oranlar) ve istenen sonucu belirle. Hangi uzunlukların sabit, hangilerinin değişken olduğunu fark et.
2. Modelleme: Durumu nokta, doğru parçası ve üçgenlerle çiz. Yere dik duran cisimler dik açı, aynı anda gelen güneş ışınları paralel doğrular, eşit uzaklıklar ikizkenar üçgen olarak modellenir. Verilenleri şeklin üzerine yaz.
3. İlişkileri belirleme: Ortak açıları, ters açıları, paralel doğrulardan gelen eş açıları ve dik açıları işaretle. Hangi üçgenlerin eş veya benzer olduğunu ve hangi koşula (K.K.K., K.A.K., A.K.A., A.A.) dayandığını yaz.
4. Strateji ve çözüm: Benzerlik oranını kur; gerekiyorsa Tales, Öklid veya Pisagor teoremini kullan. Birimleri aynı yap (cm ile m karışmamalı).
5. Kontrol ve değerlendirme: Sonucun bağlama uygun olup olmadığını denetle (bir binanın yüksekliği negatif ya da birkaç santimetre olamaz). Mümkünse başka bir yolla doğrula ve stratejinin başka hangi problemlerde kullanılabileceğini düşün.

2. Eş Üçgenlerle Desen Problemleri

Eş üçgenler kenarları çakışacak şekilde yan yana getirilerek desenler oluşturulur. Bu tür problemlerde bir noktada birleşen açıların toplamının 360° (tam açı) olması kullanılır.

3. Ayna ile Yükseklik Ölçme

Bir nesneden gelen ışık bir aynaya çarparak göze ulaştığında, gelen ışının aynayla yaptığı açı ile yansıyan ışının aynayla yaptığı açı eşittir. Ayna yere konulursa kişi ile nesne yere dik durduğundan iki dik üçgen oluşur. Bu üçgenlerde dik açılar ve aynadaki açılar eşit olduğundan üçgenler A.A. koşuluna göre benzerdir.

4. Gölge ve Işık Problemleri

Güneş çok uzakta olduğundan aynı anda gelen güneş ışınları birbirine paralel kabul edilir. Yere dik duran cisimler ve gölgeleri, paralel ışınlarla benzer dik üçgenler oluşturur. Bir lamba gibi yakın bir ışık kaynağında ise ışınlar tek bir noktadan çıkar; bu durumda kaynak, cisim ve gölge ucu ortak açılı benzer üçgenler oluşturur.

5. Tahterevalli ve Destek Problemleri

Bir tahterevallinin desteği yere dik olsun. Tahterevallinin bir ucu yere değdiğinde tahta, destek ve yer bir üçgen oluşturur; destek, diğer ucun yerden yüksekliğine paraleldir. Bu yüzden destek ile karşı ucun yüksekliği arasında benzerlik oranı vardır.

6. Öklid ve Pisagor ile Ölçme

Bir kişi bir kitabı gözüne yaklaştırıp kitabın bir köşesinden bir anıtın tepesine, diğer köşesinden anıtın dibine bakarsa göz noktasında dik açı oluşur. Gözden anıta yatay çizilen doğru, bu dik üçgende hipotenüse ait yüksekliktir. Böylece Öklid teoremi kullanılabilir.

7. Ölçekleme Problemleri

Bir şekil büyütülüp küçültüldüğünde (ekranda yakınlaştırma, fotokopi, harita) tüm uzunluklar aynı oranda değişir; elde edilen şekil ilk şekle benzerdir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Gölge ile Yükseklik

Bir cismin boyu ve gölgesi ile başka bir cismin gölgesi verilir.

Kalıp 2: Ayna ile Ölçme

Göz yüksekliği, kişinin aynaya ve aynanın cisme uzaklığı verilir.

Kalıp 3: Karanlık Kutu ve Kelebek

Nesne ve görüntü paralel, ışınlar bir noktada kesişir.

Kalıp 4: Destek ve Tahterevalli

İki uç yükseklik verilir; destek boyu istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Birimleri eşitlemeden oran kurmak yanlış sonuç verir; cm ve m aynı anda kullanılmaz.
• Güneş ışınları paraleldir; lamba ışınları tek noktadan çıkar. İkisinde benzer üçgenler farklı kurulur.
• Aynada eşit olan açılar ışınların aynayla yaptığı açılardır.
• İkizkenar üçgen biçimli tepede zirveden inen dikme tabanı ortalar.
• Kitap yönteminde gözden anıta yatay çizgi hipotenüse ait yüksekliktir; Öklid teoremi kullanılır.
• Tahterevalli ve direk problemlerinde oranlar tam uzunluğa (AB) göre kurulur ve toplamları 1'dir.
• Ölçeklemede tüm uzunluklar aynı oranda değişir; açı değişmez.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Önce bir şekil çiz ve verilenleri birimleriyle üzerine yaz.
• Dik duran cisimleri, paralel ışınları ve eşit açıları işaretle.
• Benzer üçgenleri köşe sırasıyla yaz ve koşulunu belirt.
• Benzerlik oranından tek bilinmeyenli denklem kur.
• Gerekirse ikinci adımda Pisagor veya Öklid kullan.
• Sonucu bağlama göre yorumla; mümkünse farklı bir yolla kontrol et.

Konu Özeti

Eşlik ve benzerlik problemleri, verilenler ile istenenler arasındaki ilişkilerin bir geometrik modelle gösterilmesiyle çözülür. Yere dik cisimler dik açı, aynı anda gelen güneş ışınları paralel doğru, aynadaki yansıma eş açılar, eşit uzaklıklar ikizkenar üçgen olarak modellenir. Modeldeki eş ve benzer üçgenler gerekçesiyle belirlenir; benzerlik oranı ile Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri kullanılarak bilinmeyenler bulunur. Karanlık kutu, gölge, ayna, tahterevalli, kitapla yükseklik ölçme ve ölçekleme bu yöntemle çözülen tipik problemlerdir. Çözüm kontrol edilir, farklı yollar karşılaştırılır ve stratejinin başka hangi durumlarda kullanılabileceği değerlendirilir.