AYT Matematik Permütasyon Konu Anlatımı

Permütasyon

Permütasyon, nesnelerin belirli bir sıra gözetilerek dizilmesi veya seçilip dizilmesi işlemidir. Sayma konusunun temelini oluşturan çarpma ve toplama kurallarının üzerine kurulur. AYT Matematik’te permütasyon soruları genellikle sıralama, yan yana oturma, rakamlardan sayı yazma, harflerden kelime dizme, tekrarlı permütasyon ve dairesel permütasyon biçiminde karşımıza çıkar. Bu konu aynı zamanda kombinasyon ve olasılık konularına temel hazırlar.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• toplama ve çarpma kurallarını ayırt edebilmesi,
• faktöriyel hesaplayıp faktöriyelli ifadeleri sadeleştirebilmesi,
• n elemanlı kümenin r’li permütasyonunu hesaplayabilmesi,
• yan yana, ayrı ayrı veya belirli yerde olma koşullarını kurabilmesi,
• rakamlardan sayı yazma sorularını sıfır ve basamak kısıtına göre çözebilmesi,
• tekrarlı permütasyon ile harf sorularını çözebilmesi,
• tekrarlı seçimli sıralamayı (nʳ) kullanabilmesi,
• dairesel (çembersel) permütasyonu uygulayabilmesi,
• bilezik ve halka gibi yönü önemsiz sıralamaları hesaplayabilmesi,
• permütasyon denklemlerini çözebilmesi

gerekir.

Sayma Kuralları

Toplama Kuralı

İki iş birbirinden bağımsız ve aynı anda yapılamıyorsa (“veya”), birinin yapılış sayısı m, diğerinin n ise iş m + n farklı biçimde yapılır.

Çarpma Kuralı

Bir iş ardışık iki aşamada yapılıyorsa (“ve”), birinci aşama m, ikinci aşama n farklı biçimde yapılıyorsa iş m · n farklı biçimde yapılır.

Faktöriyel

n pozitif tam sayı olmak üzere n! = n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · 1 ve 0! = 1 olarak tanımlanır.

• n! = n · (n − 1)!
• (n + 1)! = (n + 1) · n!

Faktöriyelli ifadelerde büyük faktöriyel, küçük faktöriyele bağlanarak sadeleştirilir.

Permütasyon

n elemanlı bir kümenin r elemanının sıralı dizilişlerinin sayısına n’in r’li permütasyonu denir:

P(n, r) = n! / (n − r)! = n · (n − 1) · ... · (n − r + 1) (r ≤ n)

n elemanın hepsinin sıralanması P(n, n) = n! tanedir.

Yan Yana ve Ayrı Sıralama

Yan Yana Olma

Yan yana olması istenen kişiler tek bir grup (blok) sayılır. Önce bloğu diğerleriyle sıralanır, sonra bloğun kendi içi sıralanır.

Yan Yana Olmama (Tümleyen)

Toplam sıralamadan yan yana olanlar çıkarılır.

Hiçbir İkisi Yan Yana Olmama

Önce serbest olanlar dizilir, sonra yan yana olmaması istenenler aralara yerleştirilir.

Dönüşümlü Dizilim

Belirli Yerde Olma

Rakamlarla Sayı Yazma

Rakamlardan sayı yazarken şu noktalara dikkat edilir:

• Rakamlar farklı mı, tekrar edebilir mi?
• 0 en başta olamaz (en soldaki basamak 0 olamaz).
• Çift sayı için birler basamağı çift, tek sayı için tek, 5’e bölünebilme için 0 veya 5 olmalıdır.
• Önce kısıtlı basamağı doldur, sonra diğerlerini sırala.

Sıfırın Olduğu Durumlarda Ayırma

Birler basamağında 0 olması ve olmaması ayrı durumlar olarak ele alınır.

Tekrarlı Permütasyon

n elemanın n₁ tanesi bir türden, n₂ tanesi başka bir türden, ... olmak üzere özdeş elemanlar içeren sıralamaların sayısı

n! / (n₁! · n₂! · ...)

ile bulunur. Harflerle kelime türetme sorularında özdeş harfler bu şekilde ele alınır.

Yola Dayalı Sayma

Bir noktadan diğerine yalnız sağa ve yukarı giderek ulaşmada her yol, bir tekrarlı permütasyondur.

Tekrarlı Seçimli Sıralama

Her yer, aynı kümenin elemanlarından birini tekrar kullanabilecek biçimde doldurulabiliyorsa r yer için n eleman varsa nʳ farklı sıralama vardır.

Dairesel (Çembersel) Permütasyon

n farklı elemanın bir çember (yuvarlak masa) etrafında dizilişlerinin sayısı (n − 1)!’dir. Çünkü döndürülünce aynı kalan diziliş tek sayılır; biri sabitlenerek kalanlar sıralanır.

Bilezik, kolye gibi çevrilince (ters çevrilince) aynı kalan dizilişler için sonuç (n − 1)! / 2’dir.

Zor Problemler (Adım Adım)

Geçmiş AYT’lerde Görülen Soru Kalıpları

Aşağıdaki örnekler AYT tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.

Sınavda En Önemli Bağlantılar

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Sıralama Sorusu

Önce sıra önemli mi bak. Yan yana varsa blok, yan yana olmasın varsa tümleyen veya boşluk yöntemi kullan.

Sayı Yazma Sorusu

Basamakları çiz. Kısıtlı basamağı (birler, baştaki basamak) önce doldur. 0 problem yaratıyorsa durumları ayır.

Harf Sorusu

Harfleri say. Özdeş harf var mı? Varsa n!/(n₁!n₂!...) kullan.

Yuvarlak Masa Sorusu

Bir kişiyi sabitle ve (n − 1)! kullan. Yan yana veya karşılıklı koşulu varsa sabitle ve blok kur.

Denklem Sorusu

P(n, r) ve faktöriyelleri açıp sadeleştir; n(n − 1)... çarpımını denkleme çevir.

Konu Özeti

Sayma: veya → topla, ve → çarp.

Faktöriyel: n! = n(n − 1)!, 0! = 1.

Permütasyon: P(n, r) = n!/(n − r)!.

Yan yana: blok yap, blok içini sırala.

Sayı yazma: kısıtlı basamağı önce doldur, 0 başta olamaz.

Tekrarlı: n!/(n₁!n₂!...).

Tekrarlı seçim: nʳ.

Dairesel: (n − 1)!, bilezik (n − 1)!/2.