AYT Geometri Çemberin Analitiği Ders Notu

Çemberin Analitiği Ders Notu

Çemberin Analitiği, çemberi koordinat düzleminde denklem kullanarak inceler.

Standart Çember Denklemi

Merkez:

**M(a,b)**

Yarıçap:

**r**

ise:

**(x-a)² + (y-b)² = r²**

Orijin Merkezli Çember

Merkez:

**(0,0)**

ise:

**x² + y² = r²**

Merkez Okuma

(x-a)² → merkez x koordinatı a

(y-b)² → merkez y koordinatı b

Kısa ayrım:

(x-4)² → 4

(y+3)² → -3

Genel Çember Denklemi

**x²+y²+Dx+Ey+F=0**

Merkez:

**(-D/2,-E/2)**

Yarıçap karesi:

**(D²+E²)/4 - F**

Tam Kareye Tamamlama

x ve y terimleri ayrı ayrı tam kareye tamamlanarak standart çember denklemine geçilir.

Noktanın Konumu

Merkezden noktaya uzaklığın karesi d² olsun.

d² = r² → çember üzerinde

d² < r² → çember içinde

d² > r² → çember dışında

Önemli:

Karekök almadan kareleri karşılaştırmak yeterlidir.

Çap Uçları

Çap uçları A ve B ise:

Merkez → AB’nin orta noktası

Yarıçap → AB/2

Eksenlere Teğetlik

x eksenine teğet:

**|b| = r**

y eksenine teğet:

**|a| = r**

iki eksene teğet:

**|a|=|b|=r**

Doğru–Çember Konumu

Merkezden doğruya uzaklık d ise:

d < r → kesen

d = r → teğet

d > r → kesişmez

Noktanın Doğruya Uzaklığı

Merkez M(x₀,y₀), doğru Ax+By+C=0:

**|Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)**

Teğet

Teğet noktasındaki yarıçap teğete diktir.

Kısa eşleştirme:

Teğet → yarıçapa dik

Orijin Merkezli Çemberde Teğet

x²+y²=r² çemberinde P(x₁,y₁) noktasındaki teğet:

**xx₁+yy₁=r²**

Kesişim Sayısı

Doğru ve çember birlikte çözüldüğünde:

iki çözüm → kesen

bir çözüm → teğet

gerçek çözüm yok → dış doğru

İki Çemberin Konumu

Merkezler arası uzaklık d.

d > r₁+r₂ → ayrı

d = r₁+r₂ → dıştan teğet

|r₁-r₂| < d < r₁+r₂ → iki noktada kesişir

d = |r₁-r₂| → içten teğet

d < |r₁-r₂| → biri diğerinin içinde

Sık Karıştırılan Noktalar

• Standart denklemde parantez içindeki işaret merkezin tersidir.
• Sağ taraf r²’dir.
• Genel denklemde merkez (-D/2,-E/2)’dir.
• Noktanın konumu merkez uzaklığıyla belirlenir.
• Çap uçlarının orta noktası merkezdir.
• Eksene teğetlikte merkez–eksen uzaklığı yarıçaptır.
• Doğru–çember konumunda merkezden doğruya uzaklık kullanılır.
• Teğet yarıçapa diktir.
• Tek kesişim teğetliktir.
• İki çemberin konumunda yarıçap toplamı ve farkı kullanılır.

Çemberin Analitiği Kısa Özeti

Merkez–yarıçap → (x-a)²+(y-b)²=r²

Orijin merkezli → x²+y²=r²

Genel denklem merkez → (-D/2,-E/2)

Nokta üzerinde → d²=r²

Nokta içinde → d²<r²

Nokta dışında → d²>r²

Çap uçları → orta nokta + yarıçap

Eksene teğet → uzaklık = r

Doğru teğet → merkez–doğru uzaklığı = r

Teğet → yarıçapa dik

İki çember → d ile r₁+r₂ ve |r₁-r₂| karşılaştır