AYT Matematik Binom Ders Notu

Binom – Ders Notu

Temel Formül

(a+b)^n = Σ C(n,k)a^(n-k)b^k, k=0,1,...,n

Genel terim:

T_(k+1)=C(n,k)a^(n-k)b^k

Toplam terim sayısı n+1'dir.

Binom Katsayısı

C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]

Temel özellikler:

• C(n,0)=1
• C(n,n)=1
• C(n,1)=n
• C(n,k)=C(n,n-k)

Kuvvetlerin Düzeni

(a+b)^n açılımında:

• a'nın kuvveti n'den 0'a azalır.
• b'nin kuvveti 0'dan n'ye artar.
• her terimde üslerin toplamı n olur.

Belirli Terim

(k+1). terim istenirse genel terimde k kullanılır.

Örneğin 5. terim için k=4 alınır.

Belirli Kuvvetin Katsayısı

Genel terimde değişkenin kuvveti hedef kuvvete eşitlenir. Bulunan k ile C(n,k) ve diğer sabit çarpanlar hesaplanır.

Sabit Terim

Değişkenin üssünü 0'a eşitle.

Örneğin (x^2+1/x)^6 için:

x'in kuvveti 12-3k olur.

12-3k=0 → k=4

Sabit terim C(6,4)=15.

Katsayılar Toplamı

P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1)'dir.

Örneğin:

P(x)=(2x-3)^5

P(1)=(-1)^5=-1

Çift ve Tek Kuvvetli Katsayılar

Çift kuvvetli katsayılar toplamı:

[P(1)+P(-1)]/2

Tek kuvvetli katsayılar toplamı:

[P(1)-P(-1)]/2

Orta Terim

n çift → n+1 tek → 1 orta terim.

n tek → n+1 çift → 2 orta terim.

İşaret Kontrolü

(a-b)^n için genel terimde (-b)^k kullan. Böylece k'nın tek veya çift oluşuna göre işaret otomatik belirlenir.

Pascal Üçgeni

İlk satırlar:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Her satır ilgili binom açılımının katsayılarını verir.

Katsayı İlişkileri

(1+ax)^n için:

• x katsayısı = na
• x^2 katsayısı = C(n,2)a^2
• x^3 katsayısı = C(n,3)a^3

İki katsayı arasındaki ilişki verildiğinde bu bağıntılardan denklem kurulur.

Çarpım Açılımları

İki binom çarpımında hedef kuvveti veren terim eşleşmeleri seçilir ve katsayıları toplanır. Bütün açılımı yazmak çoğu zaman gereksizdir.

Sık Hatalar

• Terim sayısını n almak.
• 5. terimde k=5 kullanmak.
• Sabit terimde x üssünü 1'e eşitlemek.
• Katsayı toplamı için x=0 yazmak.
• (a-b)^n açılımında negatif işareti unutmak.
• C(n,k)=C(n,n-k) simetrisini gözden kaçırmak.

Binom Kısa Özeti

Binom sorularında merkez araç genel terimdir. Belirli kuvvet ve sabit terim sorularında üs denklemi kur; katsayılar toplamında x=1 yaz; çift-tek katsayı toplamlarında x=1 ve x=-1'i birlikte kullan. Katsayıların simetrisi C(n,k)=C(n,n-k) şeklindedir.