Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme ve Bölünebilme – Konu Anlatımı

Bölme İşleminin Temel Bağıntısı

Bir A tam sayısı pozitif B sayısına bölündüğünde bölüm Q, kalan R ise A=B·Q+R ve 0≤R<B olur. Örneğin 148=5·29+3. Kalanın bölenle aynı veya daha büyük olması geçerli bir bölme gösterimi değildir.

Temel Bölünebilme Kuralları

• 2: Birler basamağı 0,2,4,6 veya 8.
• 3: Rakamlar toplamı 3’ün katı.
• 4: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4’ün katı.
• 5: Son basamak 0 veya 5.
• 6: Hem 2 hem 3’e bölünme.
• 8: Son üç basamağın oluşturduğu sayı 8’in katı.
• 9: Rakamlar toplamının 9’un katı olması.
• 10: Son basamak 0.
• 11: Basamakları birer atlayarak alınan rakam toplamlarının farkının 11’in katı olması.
• 12: Hem 3 hem 4’e bölünme.
• 18: Hem 2 hem 9’a bölünme.
• 24: Hem 3 hem 8’e bölünme.

Rakamlı Sayılarda Birlikte Koşullar

3a5b gibi bir sayının 8’e bölünmesi için a5b biçimindeki son üç basamak incelenir. 9’a bölünmesi için 3+a+5+b toplamı 9’un katı olmalıdır. Aynı anda aranan koşulları ayrı ayrı yazıp rakamların 0–9 sınırını kullan.

Kalanların Toplanması ve Çarpılması

N’nin B ile bölümünden kalan r ise N=Bk+r biçiminde yazılır. mN+c sayısının kalanı için m·r+c ifadesini B’ye bölmek yeterlidir. Örneğin N’nin 11 ile bölümünden kalan 8 ise 2N+5’in kalanı 21’in 11 ile bölümünden kalan 10’dur.

Birden Fazla Bölenle Kalan Soruları

Bir sayı 4’e bölününce 3, 5’e bölününce 4 ve 6’ya bölününce 5 kalıyorsa sayıdan 1 fazlası bu bölenlerin her birine bölünür. Bu nedenle N+1, 4,5,6’nın en küçük ortak katı olan 60’ın katıdır; N=60k−1.

Ortak Katları Sayma ve Çifte Sayımı Önleme

1’den N’ye kadar d’ye bölünen sayı adedi N÷d işleminin tam kısmıdır. İki farklı bölenin katlarını sayarken ortak katlar iki kez sayılır. Örneğin 1–200 arasında 9 veya 12’ye bölünenlerin sayısı 22+16−5=33 olur; 36’nın katları bir kez çıkarılır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• 3 ve 9’da rakamlar toplamı, 4 ve 8’de son iki/üç basamak kullanılır.
• 6’ya bölünme 2 ve 3’e; 12’ye bölünme 3 ve 4’e; 18’e bölünme 2 ve 9’a bağlıdır.
• 11’e bölünebilmede ardışık rakamları değil birer atlayarak seçilen rakamları karşılaştır.
• Her kalan 0’dan büyük olmak zorunda değildir; 0 da mümkündür.
• İki bölenin ortak katlarını sayarken kesişimi çıkarmak gerekir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Bölme eşitliğini yaz: N=B·Q+R.
2. Kalanı bölenle karşılaştır ve geçerli aralığı denetle.
3. Rakamlı soruda son basamaklar ve rakamlar toplamı kurallarını ayrı uygula.
4. Birden çok kalan varsa ortak kat veya düzenli artan adayları kullan.
5. Sayma probleminde aralığın iki ucunu ve ortak katları kontrol et.
6. Bulduğun sayıları tüm koşullarda yeniden sınayarak doğrula.

Konu Özeti

Bölme ve bölünebilmenin temeli kalan-bölen bağıntısıdır. Bölünebilme kuralları, basamak bilgisi, ortak katlar ve kalan koşulları birlikte kullanıldığında uzun denemeler kısa çözümlere dönüşür.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Bölme işleminde bölüneni, böleni, bölümü ve kalanı doğru ayırabilmelisin.
• 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,18 ve 24’e bölünebilme kurallarını uygulayabilmelisin.
• Birden fazla bölünebilme koşulunu aynı anda sağlayan sayıları bulabilmelisin.
• Kalanlı işlemlerde yeni kalanları hesaplayabilmelisin.
• Bir aralıkta ortak katları hatasız sayabilmelisin.