EBOB ve EKOK Konu Anlatımı

EBOB ve EKOK – Konu Anlatımı

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla pozitif tam sayıyı kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıya EBOB denir. Örneğin 36 ile 60’ın EBOB’u 12’dir. Sayıları asal çarpanlarına ayırıp ortak asal çarpanların **küçük üslerini** alarak da EBOB hesaplanabilir.

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak pozitif katlarının en küçüğüne EKOK denir. Asal çarpanlara ayırma yönteminde tüm asal çarpanların **büyük üsleri** alınır. EKOK(12,18)=36’dır.

İki Sayıda Çarpım İlişkisi

Pozitif a ve b için **a·b=EBOB(a,b)·EKOK(a,b)** geçerlidir. Örneğin EBOB(24,x)=8 ve EKOK(24,x)=168 ise 24x=8·168, dolayısıyla x=56 olur. Bulunan değer ayrıca EBOB ve EKOK koşullarında kontrol edilir.

Birden Fazla Sayıda EBOB ve EKOK

EBOB(72,120,168)=24 olduğundan üç renk ürün **en fazla 24** aynı içerikli pakete ayrılır. EKOK(18,24,30)=360 olduğundan üç periyodik olay birlikte başladıktan **360 dakika** sonra yeniden aynı anda olur.

Dikdörtgeni Eş Karelere Bölme

Kesmeden kullanılacak en büyük karelerin kenarı dikdörtgenin kenar ölçülerinin EBOB’udur. 180×252 cm levha için kare kenarı 36 cm ve kare sayısı (180÷36)·(252÷36)=35’tir.

Kalanlı Bölmede EBOB

Bir sayı d’ye bölününce r kalıyorsa sayıdan r çıkarıldığında d’ye tam bölünür; ayrıca 0≤r<d olmalıdır. Örneğin 83 ile 131’in aynı sayıya bölümünden 3 kalanını verme koşulu, bölenin 80 ve 128’in ortak böleni olmasını gerektirir. En büyük uygun bölen EBOB(80,128)=16’dır.

Sayı Çiftleri ve Çarpan Çiftleri

EBOB(a,b)=g ise a=gx, b=gy yazılır ve x,y aralarında asaldır. EKOK(a,b)=k olduğunda xy=k÷g olur. Böylece her çarpan çifti ayrı denetlenir. Örneğin g=8 ve k=336 ise xy=42. Aralarında asal çarpan çiftleri (1,42), (2,21), (3,14), (6,7) olur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• EBOB’da ortak asal çarpanların **küçük**, EKOK’ta bütün asal çarpanların **büyük** kuvvetleri seçilir.
• EBOB ile EKOK çarpımı, **iki** pozitif sayı için sayıların çarpımına eşittir; üç sayı için aynı eşitlik genellikle geçerli değildir.
• Bir dikdörtgeni en büyük eş karelere bölmede önce EBOB, sonra kare sayısı hesaplanır.
• Aynı kalan koşulunda sayıdan kalanı çıkar; kalan bölenin kendisinden küçük olmalıdır.
• İki sayının EBOB’una bölünmüş hâlleri aralarında asaldır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Sorunun eş parçalama mı, ortak tekrar mı istediğini belirle.
2. Sayıları asal çarpanlara ayır veya Öklid algoritması kullan.
3. İki sayı verilmişse a·b=EBOB·EKOK ilişkisini denetle.
4. Kalanlı soruda kalanı çıkar; sayma sorusunda aralık sınırlarını kontrol et.
5. Sayı çifti sorusunda a=gx, b=gy yazıp EBOB(x,y)=1 koşulunu uygula.
6. Sonucu sorunun tüm koşullarında ayrı ayrı doğrula.

Konu Özeti

EBOB en büyük ortak böleni, EKOK en küçük ortak pozitif katı gösterir. Paketleme ve karelere bölme EBOB; ortak zaman ve periyodik çakışma EKOK gerektirir. İki sayının çarpım bağıntısı ve aralarında asal çarpan çiftleri çok koşullu soruların temelidir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• İki veya daha fazla sayının EBOB ve EKOK’unu hesaplayabilmelisin.
• Paketleme, kesme, karelere ayırma sorularını EBOB ile çözebilmelisin.
• Zil, araç ve makine periyotlarını EKOK ile modelleyebilmelisin.
• İki sayı için EBOB·EKOK=çarpım ilişkisini uygulayabilmelisin.
• Kalanlı bölme ve sayı çifti sorularında uygun sayıları sınayabilmelisin.