Mutlak Değer Ders Notu

Mutlak Değer – Ders Notu

**Tanım:** |a| sayısının sıfıra uzaklığıdır. |−8|=8, |0|=0. Sonuç negatife eşit olamaz.

**Mutlak değer denklemi:** |A|=k ve k>0 ise A=k veya A=−k. k=0 ise A=0; k<0 ise gerçek kök yok.

**Eşitsizlik:** |A|<k ⇒ −k<A<k; |A|≤k ⇒ −k≤A≤k; |A|>k ⇒ A<−k veya A>k (k>0).

**Uzaklık:** |x−a|, x ile a arasındaki uzaklıktır. |x−a|=|x−b| için a≠b olduğunda x=(a+b)/2.

**İki noktaya uzaklık:** |x−a|+|x−b|≥|a−b|; eşitlik x iki nokta arasında olduğunda sağlanır.

**Üç noktaya uzaklık:** |x−a|+|x−b|+|x−c| en küçük değerini, a,b,c sıralandığında ortadaki noktada alır.

**Üçgen eşitsizliği:** |A|+|B|≥|A+B|; eşitlik aynı işaret veya sıfır koşuluyla oluşur.

**İç içe örnek:** ||x|−3|=1 ⇒ |x|=4 veya |x|=2 ⇒ x=−4,−2,2,4.

**Parçalı çözüm:** Kırılma noktalarını bul, her aralıkta işaretleri belirle, bulunan kökü aralığa göre kontrol et.

Çözümlü Örnek

|x−2|+|x−8|=10 denkleminde en küçük toplam 6'dır. İki noktadan dışa 2 birim gidilirse toplam 10 olur; kökler x=0 ve x=10'dur.

Kısa Özet

Mutlak değerin işareti, eşitsizliklerde aralıkların açık/kapalı olması, iç içe mutlak değer ve iki noktaya uzaklık toplamı sınavın sık hata yaptıran alanlarıdır.