Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Rasyonel Sayılar – Konu Anlatımı

Rasyonel Sayının Tanımı

**a** ve **b** birer tam sayı, **b≠0** olmak üzere **a/b** biçimindeki sayılar rasyoneldir. Her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır. Payda sıfır olamaz. Aynı rasyonel sayı birden çok kesirle gösterilebilir: 2/3=4/6=10/15.

Sadeleştirme ve Genişletme

Kesri sadeleştirmek için pay ve paydayı ortak bölenine böl. Örneğin 36/54=2/3. Kesirlerde toplama veya çıkarma yapmadan önce ortak payda belirle: 3/4−5/6=9/12−10/12=−1/12.

İşaret ve Sıralama

Pozitif rasyonel sayılar sıfırdan büyük, negatifler sıfırdan küçüktür. Aynı işaretli kesirleri ortak paydaya dönüştürerek karşılaştırabilirsin. Negatif sayılarda mutlak değerce küçük sayı daha büyüktür: −3/5>−5/8 çünkü −0,6>−0,625.

Dört İşlem ve İşlem Önceliği

Toplama ve çıkarma: ortak payda belirle, payları topla veya çıkar. Çarpma: payları kendi aralarında ve paydaları kendi aralarında çarp. Bölme: ikinci sıfır olmayan kesri ters çevirip çarp. Parantez, üs, çarpma-bölme, toplama-çıkarma önceliğine dikkat et.

Ondalık Gösterim ve Devirli Ondalıklar

0,375=375/1000=3/8’dir. Tekrarlayan ondalıklarda **0,(27)=27/99=3/11**, **0,1(6)=0,1666…=1/6** olur. Parantez dışındaki ondalık basamaklar tekrarlanmaz. 0,08(3)=0,08333…=1/12 örneğinde 8 rakamı devretmez.

Rasyonel Sayılarda Denklem

Bilinmeyen bir kesirli ifadeyle verildiğinde paydanın sıfır olmaması koşulunu koruyarak içler-dışlar çarpımı veya eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygula. Örneğin (x−1/3)/(5/6)=4/5 ise x−1/3=2/3, x=1 bulunur.

Kesrin Kesri ve Ardışık İşlemler

Bir miktarın 3/8’i kullanılmışsa 5/8’i kalır. Kalanın 2/5’i de kullanılırsa yeni kalan 5/8×3/5=3/8 olur. “Kalanın” ifadesi tümün değil o anki miktarın kesrinin alınacağını gösterir.

Rasyonel Aralıklarda Kesir Sayma

Payda sabit olduğunda kesirleri aynı paydaya getirerek açık aralık sınırlarını belirle. Örneğin 1/3<k/24<3/4 için 8<k<18 olur. En sade kesir isteniyorsa ayrıca k ve 24’ün aralarında asal olması gerekir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Payda sıfır olamaz; pay sıfır olabilir.
• Toplamada 1/2+1/3=5/6’dır, 2/5 değildir.
• Negatif kesirlerde mutlak değerce küçük olan daha büyüktür.
• Bir kesre bölmek onun tersiyle çarpmaktır; tersin de sıfır olmaması gerekir.
• “Kalanın 2/5’i” ile “toplamın 2/5’i” farklıdır.
• Devirli gösterimde yalnız parantez içindeki rakamlar tekrar eder.
• Payda eşitlemeden farklı paydalı kesirleri doğrudan toplama.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Verilen ondalıkları ve tam sayıları gerekirse kesre çevir.
2. Parantezlerden başlayarak işlem önceliğini koru.
3. Toplama/çıkarma için ortak payda, bölme için ters çevirme kullan.
4. İşaretleri her ara adımda kontrol et.
5. Ardışık kullanım sorularında kalan oranları sırayla çarp.
6. Sonucun en sade hâlini ve paydanın sıfır olmadığını denetle.

Konu Özeti

Rasyonel sayılar paydası sıfır olmayan tam sayı kesirleridir. Sadeleştirme, sıralama, dört işlem, devirli ondalıklar, birleşik kesirler, aralıklar ve kalan miktar problemleri DGS için temel uygulama alanlarıdır.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Rasyonel sayıların işaretini, tanımını ve eş değer gösterimlerini tanıyabilmelisin.
• Kesirleri sadeleştirip karşılaştırabilmelisin.
• Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve iç içe işlemleri yapabilmelisin.
• Sonlu ve devirli ondalık yazımları kesre çevirebilmelisin.
• Kesirli denklemleri ve ardışık kalan problemlerini çözebilmelisin.
• Verilen rasyonel aralıkta payda koşullu kesirleri belirleyebilmelisin.