Mutlak Değer Konu Anlatımı

Mutlak Değer

Mutlak Değerin Tanımı

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık |a-b| ile bulunur. Uzaklık daima negatif olmayan bir sayıdır. |-3-5| = |-8| = 8 birimdir.

Mutlak Değerin Temel Özellikleri

• |a| ≥ 0; |a| = 0 olması için a = 0 gerekir.
• |ab| = |a| · |b|; b ≠ 0 için |a/b| = |a|/|b|.
• |-a| = |a| ve |a|² = a².
• |a+b| ≤ |a|+|b| (üçgen eşitsizliği).
• |a-b|, a ve b noktalarının sayı doğrusundaki uzaklığıdır.

Mutlak Değer Denklemleri

|x-a| = b için b > 0 ise iki durum vardır: x-a=b veya x-a=-b. Dolayısıyla x=a+b veya x=a-b. b=0 olduğunda tek, b<0 olduğunda hiç çözüm yoktur.

İçeride katsayı olduğunda her iki olasılıkta da denklem çözülür. Örneğin |2x-10|=6 için 2x-10=6 veya 2x-10=-6; x=8 veya x=2 bulunur.

Mutlak Değer Eşitsizlikleri

b>0 için |x-a| < b ifadesi a-b < x < a+b; |x-a| ≤ b ifadesi a-b ≤ x ≤ a+b demektir. Sayı doğrusunda bir merkeze en fazla b birim uzaklıktaki noktalar aralığını verir.

|x-a| > b ifadesi x < a-b **veya** x > a+b, |x-a| ≥ b ifadesi x ≤ a-b **veya** x ≥ a+b biçimindedir. Bunlar merkezin dışındaki bölgelerdir.

İki Mutlak Değerin Toplamı

|x-a|+|x-b| ifadesi, x’in sayı doğrusundaki a ve b noktalarına uzaklıkları toplamıdır. a≤b iken x, [a,b] aralığında bulunuyorsa bu toplam b-a’ya eşittir; aralık dışına çıkınca artar.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Mutlak değer sonucuna eksi işareti verilmez; |-8| = 8’dir.
2. |-3+5| = 2, |-3|+|5| = 8; parantez ve çizgiler önemlidir.
3. |x| = pozitif sayı denkleminin iki çözümü vardır, ancak başka koşullar çözümlerden birini dışlayabilir.
4. |x-a| < b aralığın içini; |x-a| > b aralığın dışını anlatır.
5. Sıkı eşitsizlikte uçlar alınmaz, eşitlikli eşitsizlikte alınır.
6. 'Pozitif tam sayı' denince 0 ve eksi sayılar sayılmaz.
7. |x-a|+|x-b| ifadesini genellikle |2x-a-b| ile değiştirmek doğru değildir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Konu Özeti

|a| sayısının sıfıra uzaklığıdır. |x-a| iki nokta arasındaki mesafeyi gösterir. |x-a|=b (b>0) için x=a±b olur. |x-a|<b merkez çevresinde açık aralık, |x-a|>b merkez dışında iki bölge verir. Birden fazla mutlak değer ifadesinde kritik noktalar, içteki ifadelerin sıfır olduğu değerlerdir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Pozitif, negatif ve sıfırın mutlak değerini hesaplayabilmelisin.
• Sayı doğrusunda iki sayı arasındaki uzaklığı bulabilmelisin.
• Bir mutlak değerli denklemi iki duruma ayırıp çözebilmelisin.
• Mutlak değerli eşitsizliklerin iç ve dış aralıklarını gösterebilmelisin.
• Açık ve kapalı sınırları kullanarak tam sayı çözüm sayısını hesaplayabilmelisin.
• İki mutlak değer toplamını uzaklık düşüncesiyle yorumlayabilmelisin.