Doğrunun Eğimi | Ders Notu

Doğrunun Eğimi – Ders Notu

Temel Kural

Doğrunun eğimi, **dikey değişimin yatay değişime oranıdır**. Simgesi m'dir:

**m = Δy / Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)**.

Pay y farkı; payda x farkıdır. İki farkın sırası aynı tutulmalıdır.

Eğim Yönleri

| Grafik | Eğim | Açıklama | |---|---|---| | Soldan sağa yükseliyor | Pozitif | m>0 | | Soldan sağa alçalıyor | Negatif | m<0 | | Yatay | Sıfır | m=0 | | Dikey | Tanımsız | Δx=0 |

Yatay y=5 doğrusunun eğimi **0**; dikey x=5 doğrusunun eğimi **tanımsızdır**.

Rampadan Eğim

Sağa 6 metre, yukarı 3 metre: m=3/6=**1/2**.

Sağa 6 metre, aşağı 3 metre: m=−3/6=**−1/2**.

Eğik yolun toplam uzunluğu değil, **yatay ilerleme** paydadır.

İki Noktadan Eğim

A(1,2), B(5,8): m=(8−2)/(5−1)=6/4=**3/2**.

A(−2,7), B(2,−1): m=(−1−7)/(2−(−2))=−8/4=**−2**.

Noktaları yer değiştirebilirsin; ancak üstteki ve alttaki çıkarma sırasını birlikte değiştirmelisin.

Tablodan Eğim

| x | 0 | 2 | 4 | |---|---:|---:|---:| | y | 3 | 9 | 15 |

x her seferinde **2 artarken** y **6 artıyor** → m=6/2=**3**.

Doğrusal tabloda her uygun iki sütundan hesaplanan eğim aynı çıkar.

Denklemden Eğim

**y=ax+b** ise **eğim a**, **y ekseni kesişimi b**.

• y=3x+2 → m=3.
• y=−2x+7 → m=−2.
• y=x−4 → m=1.
• y=−x+4 → m=−1.
• y=6 → m=0.

**ax+by=c** denkleminde y'yi yalnız bırak. Örneğin 3x+4y=8 → y=−(3/4)x+2, yani m=**−3/4**.

Diklik ile İşaret Arasındaki Fark

Eğimin işareti yönü; **|m|** değeri dikliği gösterir.

m=−3 eğimli doğru, m=2 eğimli doğrudan daha diktir çünkü 3>2.

m=−1/2 ile m=1/2 doğruları zıt yönde ama eşit dikliktedir.

Paralel Doğrular

Farklı paralel doğruların eğimleri eşittir.

y=2x+3 ile y=2x−5 paraleldir: her ikisinde m=2.

y=(k−3)x+6, y=2x−4'e paralelse k−3=2 → **k=5**.

Sabit terimlerin de aynı olması iki denklemin aynı doğruyu göstermesine yol açabilir.

Eksik Koordinat Bulma

A(1,3), B(5,k), m=1/2:

(k−3)/(5−1)=1/2 → k−3=2 → **k=5**.

Sağa gidildiğinde eğim pozitifse y'nin artması, eğim negatifse y'nin azalması beklenir.

Günlük Yaşamda Eğim

Bir depo 2. dakikada 80, 5. dakikada 65 litre içeriyorsa m=(65−80)/(5−2)=−5 litre/dakika olur. Her dakika 5 litre **azalma** vardır.

Bir taksinin ücreti y=8x+35 ise eğim 8 TL/km; başlangıç ücreti 35 TL'dir.

Soruda "başlangıç" ile "birim başına değişim" ifadelerini karıştırma.

Yaygın Hatalar

1. Eğimi Δx/Δy yazmak: **yanlış**.
2. Yalnız yüksekliğe bakıp yol dikliği kararı vermek: **yanlış**.
3. Negatif y koordinatını negatif eğimle karıştırmak: **yanlış**.
4. y=ax+b denkleminde b'yi eğim saymak: **yanlış**.
5. x=5 doğrusu için eğim sıfır demek: **yanlış**.
6. Mutlak değeri almadan diklik karşılaştırmak: **yanlış**.
7. Koordinat farklarının sırasını farklı almak: **yanlış**.
8. Gerçek yaşamda eğimin birimini görmezden gelmek: **yanlış**.

Kısa Özet

**m=Δy/Δx.** Yükselen doğru (+), alçalan doğru (−), yatay (0), dikey (tanımsız). y=ax+b'de eğim a'dır. Diklik |m| ile, paralellik eş eğimle belirlenir. Noktalarla çalışırken farkların sırasını koru ve sonucu grafik yönüyle kontrol et.