Doğrusal İlişki: Tablo ve Denklem | Konu Anlatımı

Doğrusal İlişki: Tablo ve Denklem

Konu Özeti

İki değişken arasında **doğrusal ilişki** varsa birindeki eşit büyüklükteki değişimler, diğerinde de eşit büyüklükteki değişimlere yol açar. Örneğin bir kırtasiyede kalemin tanesi 4 TL ise kalem sayısı her bir arttığında toplam ücret 4 TL artar. Bu ilişki tabloyla gösterilebilir veya **y=4x** denklemiyle yazılabilir.

1. sınıf matematikte bu konunun amacı; doğrusal ilişkili iki değişkenin birlikte nasıl değiştiğini belirlemek, **bağımsız** ve **bağımlı** değişkeni ayırt etmek, değerleri tablo ve sıralı ikiliyle göstermek ve ilişkiyi denklemle ifade etmektir.

Genel gösterim çoğunlukla **y=ax+b** biçimindedir. Burada x bağımsız değişken, y x'e bağlı değişken, a x bir birim değiştiğinde y'de meydana gelen sabit değişim, b ise x=0 olduğundaki y değeridir.

Bu pakette ilişkiyi **tablo ve denklem** üzerinden inceliyoruz. Doğrusal denklemin grafiği, eksenleri kestiği noktalar ve doğrunun eğimi izleyen kazanımların konularıdır; onları burada grafik çizerek çözmüyoruz.

1. Değişken Ne Demektir?

Değişken, farklı değerler alabilen niceliktir. Bir taksinin aldığı yol kilometre cinsinden değişebilir; buna bağlı olarak ödenecek tutar da değişir.

Yol uzunluğuna x, toplam tutara y dersek iki değişken arasında ilişki kurabiliriz. Örneğin kilometre başına 12 TL ve açılışta 25 TL ücret alınırsa y=12x+25 denklemi oluşur.

x=0 olduğunda ücret 25 TL, x=1 olduğunda 37 TL, x=2 olduğunda 49 TL'dir. Her yeni kilometrede toplam ücret 12 TL artar.

İki değişkenin her zaman eşit artması gerekmez. Biri 1 artarken diğeri 12 artabilir veya 3 azalabilir. Doğrusal ilişkide önemli olan değişimin her eşit x adımında **aynı** olmasıdır.

2. Bağımsız Değişken

Bağımsız değişken, diğer değişkenin değerini belirlemek için seçtiğimiz ya da değiştirdiğimiz niceliktir. Genellikle **x** ile gösterilir.

Örneğin alınan defter sayısı arttıkça ödenecek toplam para değişir. Defter sayısı x'tir, çünkü kaç defter alınacağını biz seçebiliriz.

Başlangıçtaki su miktarı sabit olan bir depoda geçen dakika da bağımsız değişkendir. Her dakika sonunda kalan suyu hesaplamak için zamana bir değer veririz.

Bir ilişki probleminde “hangi büyüklük seçiliyor, hangisi buna göre hesaplanıyor?” sorusunu kendine sorarsan bağımsız değişkeni kolayca bulursun.

3. Bağımlı Değişken

Bağımlı değişken, bağımsız değişkenin seçilen değerine bağlı olarak bulunan niceliktir. Genellikle **y** ile gösterilir.

Bir takside yol uzunluğu x ise ödenecek para y olabilir. Yol değiştikçe ödeme de değişir. Bu durumda ödeme **bağımlı**, yol uzunluğu **bağımsız** değişkendir.

Yol hesabında ilk ücret 25 TL gibi sabit bir sayı vardır. Bu sabit, değişken değildir. Aynı şekilde kilometre başına belirlenen 12 TL de verilen ilişki içinde sabittir.

Bir üretim makinesinin çalışma süresine göre ürettiği ürün sayısını ele alırsak çalışma süresi x, ürün sayısı y olur. İlişkinin doğru anlaşılması denklem kurmanın ilk adımıdır.

4. Tabloyla Gösterme

Bir doğrusal ilişkide her x değeri için bir y değeri yazılabilir.

Örneğin **y=3x+2** olsun:

| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | y | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 |

x=0 için 3×0+2=2, x=1 için 3×1+2=5, x=2 için 3×2+2=8 bulunur.

Tabloda x her bir arttığında y üç artıyor. Bir tablo oluştururken sırayla x değerlerini seçip denkleme yerleştirmek hem kolay hem güvenlidir.

5. Sıralı İkililer ve Tablo

Bir tablodaki satırlar **(x,y)** sıralı ikililerine dönüştürülebilir. y=3x+2 için (0,2), (1,5), (2,8), (3,11) ve (4,14) ikilileri elde edilir.

Bu sıralamada ilk değer bağımsız değişken x, ikinci değer bağımlı değişken y'dir. (2,8) ikilisi, x=2 için y=8 olduğu anlamına gelir.

**Dikkat:** (2,8) ile (8,2) aynı satırı göstermez. İlkinde x=2, ikincisinde x=8'dir. Tabloyu seçeneklerde sıralı ikiliye çevirirken sayıları yer değiştirme.

Bir sıralı ikili denklemi sağlıyorsa o ilişki tablosuna eklenebilir. Sağlamıyorsa o doğrusal ilişkiye ait değildir.

6. Denklemdeki a Katsayısı

Genel gösterimdeki **a**, x her bir birim arttığında y'nin kaç birim değiştiğini belirler.

y=4x+2 için a=4'tür: x 1 artınca y 4 artar.

y=−3x+15 için a=−3'tür: x 1 artınca y 3 azalır.

x 2 birim artarsa y'deki değişim 2a; x 5 birim artarsa 5a olur. Bu nedenle x adımı her zaman 1 olmak zorunda değildir.

Örneğin y=2x+7 ilişkisinde x=1'den x=4'e geçerken x üç artar, y altı artar. Çünkü her bir x için y iki artmaktadır.

7. Denklemdeki b Sabiti

**b**, x=0 olduğunda y değeridir. y=3x+5 denkleminde x sıfırsa y=5 bulunur.

Bir taksi örneğinde açılış ücreti b olabilir. Bir kumbarada önceden bulunan para da b olarak düşünülebilir.

y=4x−3 ilişkisinde x=0 için y=−3'tür. Bu değer her zaman bir ücret veya fiziksel miktar anlamına gelmek zorunda değildir; matematiksel ilişkide başlangıç değeri negatif olabilir.

Sözel sorularda “başlangıçta 30 TL var”, “sabit ücret 15 TL” veya “sayaç sıfırken 25 birim” gibi ifadeler b sabitini verir.

8. Sözel İfadeden Denklem Kurma

“Bir sayının iki katının üç fazlası y'dir.” cümlesinde sayı x ise iki katı 2x, üç fazlası 2x+3 olur. Denklem **y=2x+3**'tür.

“Bir sayının dört katından iki çıkarılıyor” denirse **y=4x−2** yazılır.

“Bir depoda 80 litre su var ve her dakika 4 litre azalıyor” cümlesinde geçen dakika x, kalan su y ise **y=80−4x** elde edilir.

“Birim başına” ifadesi genellikle x'in katsayısını, “sabit ücret” veya “başlangıç miktarı” ifadesi b sabitini belirler. İki bilgiyi ters yazmak çok yapılan bir hatadır.

9. Verilen Denklemden Tablo Yapma

y=5x−2 denklemi verilsin. x=0 için y=−2, x=1 için y=3, x=2 için y=8, x=3 için y=13 olur.

Tabloyu kurmak için x sütununda verilen sayıları denkleme tek tek yazmalısın. Özellikle x negatifse işaret kuralını kontrol et.

Örneğin x=−1 olduğunda 5x−2=−5−2=−7 elde edilir. Bu değer de tabloda bir sıralı ikili olarak (−1,−7) şeklinde gösterilebilir.

Eksik bir tablo satırının y'si soruluyorsa denklem verildiğinde doğrudan x yerine yazmak en kısa yoldur.

10. Tablodan Sabit Değişimi Bulma

x: 1,2,3 ve y: 6,10,14 verilsin. x her bir artarken y dört artıyor. O hâlde a=4'tür.

Tabloyu y=4x+b biçiminde düşün. x=1 ve y=6 için 6=4+b olur. b=2 bulunur. Denklem **y=4x+2**'dir.

Başka tablo: x: 0,1,2; y: 15,12,9. x her bir artarken y üç azalıyor. a=−3, b=15'tir; denklem **y=−3x+15** olur.

Bu yöntem, verilen iki veya daha çok tablo satırından ilişkiyi bulmanın temel yoludur.

11. x Adımları Birden Büyükse

Tabloda x: 1,4,7 ve y: 7,16,25 olsun. x her adımda **3**, y her adımda **9** artmaktadır.

x bir artınca y'nin değişimi 9÷3=3'tür. Dolayısıyla a=3 bulunur. x=1 iken y=7 olduğuna göre 7=3×1+b, b=4'tür.

İlişki **y=3x+4** olur. Buradan x=10 için y=34 hesaplanabilir.

**Önemli:** x üçer artarken y dokuzar artıyorsa a=9 değil, 9/3=3'tür. Artışları eşit x adımına göre karşılaştırmak gerekir.

12. Azalan Doğrusal İlişki

Başlangıçta 120 MB internet kotası olsun ve her gün 7 MB tüketilsin. x gün sonra kalan kota **y=120−7x** ile hesaplanır.

x=0 → y=120; x=1 → 113; x=2 → 106; x=3 → 99.

x bir artınca y yedi azalır. Bu nedenle a=−7'dir. Her doğrusal ilişki artan olmak zorunda değildir.

Soru “günlük tüketim” gibi azalma anlatıyorsa sabit sayıyı değişkenin katsayısından **çıkarmak** gerekebilir. Öğrenci sıkça +7x yazıp miktarı artıyormuş gibi gösterir; bu yanlıştır.

13. Tablodaki Doğrusal İlişkiyi Tanıma

x eşit adımlarla artıyorsa y'nin adım adım değişimi sabit olmalıdır. Örneğin:

| x | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---:|---:|---:|---:| | y | 5 | 8 | 11 | 14 |

y farkları +3,+3,+3'tür, dolayısıyla doğrusal bir tabloya uyar.

Fakat y değerleri 5,8,12,17 olsaydı farklar +3,+4,+5 olurdu. Bu durumda x birer artarken y sabit miktarda değişmediği için böyle bir tablo **tek bir y=ax+b kuralına uymaz**.

Değişimleri karşılaştırırken x aralıklarına da bak. x aralıkları eşit değilse y farklarının aynı olması zorunlu değildir.

14. İki Noktadan Kuralı Bulma

İki tablo satırı (1,7) ve (4,16) olsun. x 3 artarken y 9 artıyor. Bu nedenle x başına y değişimi 3'tür.

y=3x+b yazılır. (1,7) satırına göre 7=3+b → b=4. Sonuç **y=3x+4**.

İkinci satırla kontrol: x=4 için 3×4+4=16; tabloyla uyumludur.

Verilen iki satırda x değerleri farklıysa ve ilişki doğrusal denmişse bu yöntemle kural bulunabilir. Önce birim değişim, ardından başlangıç sabiti hesaplanır.

15. Eksik Tablo Değerini Bulma

y=3x+2 ve tabloda x:0,1,2,3 olsun. y değerleri 2,5,8,11 olur. Son değer boş verilirse önceki satırdan 3 ekleyebilirsin.

Denklem bilinmiyorsa ancak sabit değişim tabloda görülüyorsa aynı kuralı devam ettirirsin. Örneğin y: 4,8,12,? için x değerleri 1,2,3,4 ise son y=16'dır.

Ancak x:1,3,5,7 iken y:4,8,12,? veriliyorsa y her **iki x** adımında 4 artar; yine son değer 16'dır ama birim değişim 2'dir.

Yalnız y farkına bakarak a'yı yazmak yerine x aralıklarını da kontrol etmek gerekir.

16. Eksik x Değerini Bulma

Bir ilişki y=4x+6 olsun. y=38 olduğunda x'i bulmak için 38=4x+6 yazılır. 4x=32, x=8 bulunur.

Başka örnek: y=48−3x. y=27 için 27=48−3x, −21=−3x, x=7 olur.

Bu sorular birinci dereceden denklem çözme bilgisiyle tablo yorumunu birleştirir. Bağımlı değişken y verilince bağımsız değişken x denklemi çözülerek bulunur.

Bulunan x'i başlangıçtaki doğrusal kurala yazarak denetle: 4×8+6=38.

17. Taksi ve Tarife Problemleri

Bir taksi açılışta 30 TL, kilometre başına 8 TL alıyorsa toplam ödeme y=8x+30'dur. x=7 kilometrede y=86 TL bulunur.

Farklı bir tarifede başlangıç 5 TL, kilometre başına 11 TL olsun. Bu tarifenin denklemi y=11x+5'tir.

İki tarifenin aynı tutarı verdiği kullanım sayısını bulmak için denklemleri birbirine eşitlersin. Örneğin 9x+25=11x+5 → 20=2x → x=10.

Bu aşamada amaç iki değişken arasındaki sözlü ilişkileri matematiksel ifadeye dönüştürmektir. Grafik çizmeden de ilişki kurulabilir ve eşitlik çözülebilir.

18. Tasarruf ve Birikim Problemleri

Bir öğrencinin 90 TL birikimi ve her hafta 15 TL eklediği bir kumbarası varsa x hafta sonraki toplam **y=15x+90** olur.

Altı hafta sonra y=15×6+90=180 TL bulunur. x sıfır olduğunda 90 TL'nin bulunması başlangıç miktarını doğrular.

Diğer bir öğrenci başlangıçta 40 TL'ye sahip ve haftada 20 TL biriktiriyorsa y=20x+40 olur. Bu iki birikim belli bir hafta sonra eşitlenebilir.

“Her hafta” düzenli artışın işaretidir. Fakat her hafta farklı tutar ekleniyorsa sabit bir doğrusal kural olmayabilir. Sözel verinin **eşit miktarda** birikim olduğunu söylemesi önemlidir.

19. Depo, Üretim ve Tüketim Problemleri

Bir depoda 25 litre su varken her dakika 3 litre daha doluyorsa x dakika sonraki su miktarı y=3x+25 olur. x=9 için y=52 litredir.

Bir depoda başlangıçta 120 ürün var ve saatte 8 ürün satılıyorsa kalan ürün sayısı y=120−8x ile gösterilir.

Sabit hızla çalışan bir makine dakikada 6 ürün üretiyorsa başlangıçta ürün yokken y=6x yazılır. Başlangıçta 15 ürün varsa y=6x+15 olur.

Bu örneklerin her birinde y, x'in seçilen değerine göre değişir. Doğrusal ilişkinin kurulmasında sabit başlangıç ve sabit birim değişimi ayrı ayrı belirlemek esastır.

20. Doğrusal Modeli Kontrol Etme

Bir tablo için y=3x+4 bulduğunu düşün. Verilen (1,7) ve (4,16) sıralı ikililerini denkleme yaz:

x=1 → y=7, x=4 → y=16. İki satır da doğrulandığı için model bu verilerle uyumludur.

Ancak tablonun üçüncü satırı (5,25) olsaydı 3×5+4=19 olduğundan model o satırı sağlamazdı. Bu durumda tüm satırların aynı doğrusal ilişkiye uyduğunu söyleyemezdik.

Tablodaki yanlış kayıtları veya yanlış denklem seçeneklerini bulmanın en güvenilir yolu, birkaç satırı yerine koyarak kontrol etmektir.

21. Sabit Oranı ve Başlangıç Değerini Karıştırma

y=4x+9 denkleminde **4**, x başına değişim miktarı; **9**, x sıfır olduğundaki y değeridir.

Sözel bir soruda “9 TL başlangıç, birim başına 4 TL” deniyorsa denklem y=4x+9'dur, y=9x+4 değildir.

y=5x−3 örneğinde x bir artınca y 5 artar; x=0 olduğunda y=−3'tür. Sabit ile değişim miktarının işaretleri farklı olabilir.

Sınav seçeneklerinde katsayı ile sabit terim sıkça yer değiştirilir. Terimleri ezbere dizmek yerine **x=0** ve **x=1** değerlerini düşünerek hangisinin başlangıç, hangisinin birim artış olduğunu kontrol et.

22. Girdi–Çıktı Makineleri

Bir makineye verilen sayı x, makinenin ürettiği sayı y olsun. Makine “x'in üç katına 4 ekle” kuralıyla çalışıyorsa **y=3x+4**'tür.

Makineye 1 girilirse 7, 4 girilirse 16 çıkar. İki giriş–çıkış gözleminden kuralı belirleyip yeni bir girişin çıktısını hesaplayabilirsin.

Örneğin (2,9) ve (5,18) verilirse x üç artarken y dokuz artar. x başına değişim 3'tür. y=3x+b denkleminde x=2, y=9 yazınca b=3 bulunur.

Bu tür soruların çözümü gerçek hayattaki tarife problemleriyle aynıdır: ilişkiyi tablo üzerinden okuyup bir denklem kurarsın.

23. LGS'de Yeni Nesil Soru Kalıpları

Bir kampanyada iki farklı ücretlendirme tablosu verilebilir. Birinin sabit ücreti yüksek, birim ücreti düşük; diğerinin sabit ücreti düşük, birim ücreti yüksek olabilir.

Örneğin A tarifesi y=9x+25, B tarifesi y=11x+5 olsun. x=0 için A 25, B 5 TL'dir. x=10 için ikisi de 115 TL olur.

Başka bir soruda yalnız iki tablo satırı verilir ve x büyüdüğünde y'nin nasıl değiştiğini anlaman istenir. İlk iş x farkını ve y farkını ayrı ayrı bulmaktır.

Sözel bir problem karmaşık görünse de genellikle iki temel bilgi bulunur: **sabit başlangıç** ve **birim başına düzenli değişim**. Bu ikisini belirlemek doğru denkleme götürür.

24. Soru Çözerken Mantık Kontrolü

**Tablo verildiyse:** x değerleri arasındaki farkı bul; y farklarıyla karşılaştır. x başına değişimin sabit olup olmadığını kontrol et.

**Denklem verildiyse:** İstenen x değerini denkleme yaz veya verilen y için denklemi çöz.

**Sözel ilişki verildiyse:** Nelerin değişken, nelerin sabit olduğunu belirle; y=ax+b kur.

**İki tarife karşılaştırılıyorsa:** Her biri için ayrı denklem yaz; aynı tutarın istendiği yerde eşitle.

**Cevap seçenekleri yakınsa:** En az bir başlangıç satırını ve bir farklı satırı yerine koyup denetle.

Sık Karıştırılan Noktalar

• x bağımsız, y bağımlı değişken olarak seçilebilir; hangi büyüklüğü temsil ettiklerini problem belirler.
• y=ax+b'de a, x başına sabit değişim; b, x=0 için y değeridir.
• y=4x+9 ile y=9x+4 aynı ilişki değildir.
• x adımı 3, y adımı 9 ise x başına değişim **3** olur; 9 değil.
• Azalan ilişkide a negatiftir: y=80−4x gibi.
• Tablo sıralı ikililerinde önce x, sonra y yazılır.
• Sabit farkı bulurken x aralıklarını da incelemelisin.
• Aynı tabloyu göstermeyen bir denklem seçeneği en az bir satırda eşitliği sağlamaz.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce hangi niceliğin x, hangisinin y olduğunu belirle.
2. Sabit başlangıç değeri varsa b olarak yaz.
3. Her birim x değişiminin y'de oluşturduğu değişimi a olarak bul.
4. İlişkiyi y=ax+b denkleminde birleştir.
5. Verilen x değerleri için tabloyu doldur.
6. Tablo verildiyse x ve y farklarını hesaplayarak a'yı, bir satırdan b'yi bul.
7. Bir x veya y değeri isteniyorsa denkleme yazıp gerekli işlemleri yap.
8. Uygun sıralı ikilileri denkleme yazıp doğruluğunu kontrol et.
9. Sonucun para, litre, ürün veya hafta gibi birimini belirt.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• [ ] Bağımsız ve bağımlı değişkeni günlük yaşam probleminde ayırabiliyorum.
• [ ] İki değişken arasındaki düzenli değişimi tabloya yazabiliyorum.
• [ ] Tablo satırlarını (x,y) sıralı ikilisine dönüştürebiliyorum.
• [ ] y=ax+b denkleminde a ve b'nin rolünü açıklayabiliyorum.
• [ ] Başlangıç miktarını ve birim başına değişimi modelleyebiliyorum.
• [ ] Verilen denklemde x yerine sayı yazıp y'yi hesaplayabiliyorum.
• [ ] Verilen y için x değerini denklem çözerek bulabiliyorum.
• [ ] x adımları birden büyükse birim değişimi doğru hesaplayabiliyorum.
• [ ] Tablodan a katsayısını ve b sabitini bulabiliyorum.
• [ ] Verilen ilişkinin artan mı azalan mı olduğunu belirleyebiliyorum.
• [ ] Bir tablonun tek bir doğrusal kurala uyup uymadığını kontrol edebiliyorum.
• [ ] İki farklı ücret tarifesi için ayrı doğrusal denklem kurabiliyorum.
• [ ] İki tarifenin aynı ücreti verdiği kullanım değerini bulabiliyorum.
• [ ] Modelin gerçek yaşamla uyumunu ve cevabın birimini yorumlayabiliyorum.
• [ ] Yanlış denklem seçeneklerini tablo satırlarıyla eleyebiliyorum.

Konu Sonu Uygulamaları

**Uygulama 1:** y=2x+3, x=4 → y=11.

**Uygulama 2:** x:0,1,2; y:2,5,8 → y=3x+2.

**Uygulama 3:** x:1,2,3; y:6,10,14 → y=4x+2.

**Uygulama 4:** x:0,1,2; y:15,12,9 → y=−3x+15.

**Uygulama 5:** Başlangıç 30 TL ve km başına 8 TL → y=8x+30; 7 km için 86 TL.

**Uygulama 6:** Başlangıç 120 MB, gün başına 7 MB tüketim → y=120−7x; 8 günde 64 MB kalır.

**Uygulama 7:** (1,7) ve (4,16) → y=3x+4; x=7 için y=25.

**Uygulama 8:** 9x+25=11x+5 → x=10; iki tarife aynı ücreti verir.

**Anahtar:** Bağımsız x'i seç, sabit değişimi bul, y=ax+b kur, tabloyla denetle.