EBOB ve EKOK Konu Anlatımı

EBOB ve EKOK — LGS Matematik Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

• İki veya daha fazla pozitif tam sayının **ortak bölenlerini** ve **ortak katlarını** belirleyeceğiz.
• **EBOB** (en büyük ortak bölen) ve **EKOK** (en küçük ortak kat) kavramlarını karşılaştıracağız.
• Asal çarpanlara ayırma, listeleme ve bölme yöntemleriyle EBOB–EKOK hesaplayacağız.
• Kesme, paketleme, döşeme, eşit paylaştırma, zamanlama ve tekrar eden olaylar problemlerini çözeceğiz.
• Sorudaki **en büyük**, **en küçük**, **hiç artmadan**, **ilk kez** ve **kaç parça** gibi ifadeleri dikkatle yorumlayacağız.

1. Ortak Bölen Nedir?

Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölen sayıya o sayının **böleni** denir. İki sayıyı da kalansız bölen sayılar ise bu sayıların **ortak bölenleridir**.

Örneğin 18 ve 30 sayılarını ele alalım.

• 18'in pozitif bölenleri: **1, 2, 3, 6, 9, 18**.
• 30'un pozitif bölenleri: **1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30**.
• Ortak bölenler: **1, 2, 3, 6**.

Ortak bölenlerin en büyüğü 6 olduğundan **EBOB(18, 30) = 6** olur.

2. Ortak Kat Nedir?

Bir sayının 1, 2, 3, … ile çarpılmasıyla elde edilen pozitif sayılar o sayının **pozitif katlarıdır**. İki sayının da katı olan sayılara **ortak kat** denir.

Örneğin 8 ve 12 için:

• 8'in katları: **8, 16, 24, 32, 40, 48, …**
• 12'nin katları: **12, 24, 36, 48, 60, …**
• Ortak katlar: **24, 48, 72, …**

En küçük pozitif ortak kat **24** olduğundan **EKOK(8, 12) = 24** olur.

3. EBOB ve EKOK'u Asal Çarpanlarla Hesaplama

Asal çarpan yöntemi, özellikle büyük sayılarda listeleme yapmadan sonuca ulaşmayı sağlar.

İki sayının asal çarpanlarına ayrılışını yazalım:

**72 = 2 üzeri 3 × 3 üzeri 2**

**90 = 2 × 3 üzeri 2 × 5**

EBOB için her iki sayıda da bulunan **ortak asal çarpanların küçük üslerini** alırız:

• 2'nin ortak en küçük üssü 1'dir.
• 3'ün ortak en küçük üssü 2'dir.
• 5 ilk sayıda bulunmadığı için EBOB'a katılmaz.

Bu nedenle **EBOB(72,90) = 2 × 3 üzeri 2 = 18**.

EKOK için sayıların herhangi birinde görülen **bütün asal çarpanların büyük üslerini** alırız:

• 2'nin en büyük üssü 3'tür.
• 3'ün en büyük üssü 2'dir.
• 5'in en büyük üssü 1'dir.

**EKOK(72,90) = 2 üzeri 3 × 3 üzeri 2 × 5 = 360**.

| İşlem | Kullanılacak asal çarpanlar | Üs seçimi | Sonuç | |---|---|---|---| | EBOB(72,90) | Her ikisinde ortak 2 ve 3 | **Küçük üs** | **18** | | EKOK(72,90) | İkisinde görülen bütün asallar: 2, 3, 5 | **Büyük üs** | **360** |

4. Bölme Yöntemiyle Bulma

İki sayı yan yana yazılarak asal sayılarla bölünür. Örneğin 24 ve 36 için:

| Birinci sayı | İkinci sayı | Kullanılan asal | Her ikisi bölündü mü? | |---|---|---|---| | 24 | 36 | 2 | Evet | | 12 | 18 | 2 | Evet | | 6 | 9 | 2 | Hayır, yalnızca 6 | | 3 | 9 | 3 | Evet | | 1 | 3 | 3 | Hayır, yalnızca 3 | | 1 | 1 | Bitti | — |

• **EBOB:** İkisinin aynı anda bölündüğü asal sayıları çarp: 2 × 2 × 3 = **12**.
• **EKOK:** Bölme boyunca kullanılan **bütün** asal sayıları çarp: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = **72**.

Buradaki önemli ayrım, yalnızca **iki sayıyı da bölen** adımların EBOB'a yazılmasıdır. Bir sayının bölünüp diğerinin değişmediği adım EKOK hesabına katılır, EBOB hesabına katılmaz.

5. EBOB Soruları: Kesme, Paketleme, Paylaştırma

Birden çok miktar **hiç artmadan**, **aynı büyüklükte** parçalara ayrılıyorsa, parça büyüklüğünün her miktarı kalansız bölmesi gerekir. **En büyük parça** veya **en fazla eşit grup** soruluyorsa genellikle EBOB gerekir.

Kare döşeme problemleri

Kenarları 84 cm ve 126 cm olan dikdörtgen zemine **kesmeden** ve **boşluk bırakmadan** aynı büyüklükte olabildiğince büyük kareler yerleştirelim.

Kare kenarı hem 84'ü hem 126'yı tam bölmelidir. EBOB(84,126) = **42 cm** olur. Kısa kenarda 2, uzun kenarda 3 kare; toplam **2 × 3 = 6 kare** gerekir.

Kare kenarı ile kare sayısını karıştırma. Kare sayısı soruluyorsa iki kenardaki sıra sayılarını **çarparız**.

6. EKOK Soruları: Tekrar, Buluşma ve Ortak Kat

Birlikte başlayan ve farklı aralıklarla tekrarlanan olayların **ilk ortak tekrar zamanı** EKOK'tur.

En küçük koşullu ortak kat

Bir sayı hem 8'e hem 12'ye bölünsün ve 100'den büyük en küçük sayı olsun. Önce EKOK(8,12) = 24 bulunur. 24'ün katları 24, 48, 72, 96, 120, … biçimindedir. **100'den büyük ilk uygun kat 120**dir.

Burada yalnızca EKOK'u hesaplamak çözümü bitirmez. **Alt sınır koşulu** ayrıca kontrol edilmelidir.

7. EBOB–EKOK İlişkisi

**İki** pozitif tam sayı a ve b için önemli ilişki:

**EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b**.

8. Üç veya Daha Fazla Sayının EBOB ve EKOK'u

Birden fazla sayı için de mantık aynıdır.

Örneğin **36, 54 ve 90** sayılarının EBOB değeri **18**dir. Çünkü 18 sayısı üçünü de tam böler ve daha büyük ortak bölen yoktur.

**12, 18 ve 20** için EKOK değeri **180**dir. Üç sayıya da bölünebilen en küçük pozitif tam sayı 180'dir.

Sayıların asal çarpanlarını ayrı ayrı yazıp EBOB için **üçünün tamamında** ortak çarpanların küçük üslerini, EKOK için **en az birinde bulunan** bütün çarpanların büyük üslerini kullan.

Sık Yapılan Hatalar

1. **EBOB gereken yerde EKOK almak:** Kurdeleleri kesmede en büyük ortak parça gerekir; 48 ile 60'ın EKOK'u 240 cm'dir ve iki kurdeleden de uzundur.
2. **EKOK gereken yerde EBOB almak:** 12 ve 18 dakikalık zil döngülerinin aynı ana dönme süresi 6 dakika olamaz; 6, iki döngünün de katı değildir.
3. **Paket sayısı ile paketteki ürün sayısını karıştırmak:** En çok paket sayısı EBOB olabilir; bir paketteki ürün sayısı ayrıca bölmeyle bulunur.
4. **Sıfırıncı/birinci ortak anı karıştırmak:** “Başlangıç hariç” deniyorsa başlangıç ortak sayımda yoktur.
5. **Zamanı dönüştürmemek:** 2 saat = 120 dakikadır. Dakikaya ilişkin EKOK sonucu saat gibi yorumlanmaz.
6. **Üç sayının ortak bölenini ikili ortak bölen sanmak:** Her sayı koşulu birlikte sağlamalıdır.
7. **En küçük pozitif ortak katı 0 almak:** 0 her pozitif sayının katı sayılsa da EKOK tanımında **pozitif** ortak kat aranır.

Sık Karıştırılan Noktalar

| Karıştırılan durum | Doğru karar ve gerekçe | |---|---| | **En büyük ortak parça** / **ilk ortak buluşma** | En büyük ortak parça **EBOB**; ilk ortak tekrar veya buluşma **EKOK** ister. | | **En fazla paket** / **bir paketteki ürün** | Paket sayısı EBOB olabilir; paketteki miktarlar toplam malzemenin paket sayısına bölünmesiyle bulunur. | | **Kare kenarı** / **kare adedi** | Kenar EBOB'dur; kare adedi kısa ve uzun kenarlardaki kare sayılarının çarpımıdır. | | **EBOB'da küçük üs** / **EKOK'ta büyük üs** | EBOB yalnız ortak asal çarpanları küçük kuvvetle; EKOK bütün asalları büyük kuvvetle alır. | | **İlk ortak tekrar** / **n'inci ortak tekrar** | İlk tekrar EKOK süre sonra, başlangıç birinci sayılırsa n'inci ortak an başlangıçtan (n−1) × EKOK süre sonradır. | | **Alt/üst sınır dâhil** / **hariç** | “En fazla 180” ile “180'den küçük” aynı değildir. Sınır katı soruyu değiştirebilir. |

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. **İstenen sonucun ne olduğunu belirle:** Parça uzunluğu, kutu sayısı, kişi sayısı, ortak süre, toplam kare mi?
2. **İki sayı arasındaki ilişkiyi seç:** Her ikisini bölen en büyük sayı için EBOB; her ikisinin katı olan en küçük sayı için EKOK.
3. **Hesapla:** Küçük sayılarda bölen/kat listesi, büyük sayılarda asal çarpan yöntemi uygula.
4. **Ek işlem yap:** Eş parça sayısı için uzunlukları parçaya böl; kare adedi için sıra × sütun hesapla; saati dakikaya çevir.
5. **Sınırları ve sözcükleri kontrol et:** “İlk”, “yeniden”, “başlangıç hariç”, “en az”, “en çok”, “bütün malzemeler kullanılacak” gibi koşulları unutma.
6. **Mantık kontrolü yap:** EBOB verilen sayılardan büyük olamaz, EKOK onlardan küçük olamaz. Ortak tekrar süresi iki aralığın da katı olmalıdır.

LGS'de Nasıl Sorulur?

• **Düz işlem:** 48 ve 72'nin EBOB veya EKOK değerini bulma.
• **Model:** Farklı uzunlukları en büyük eş parçalara ayırma, dikdörtgeni en büyük karelere döşeme.
• **Zaman:** Farklı aralıklarla tekrarlanan olayların ilk ve sonraki ortak anlarını bulma.
• **Tablo/koşul:** Bir sayı veya miktarın birden çok sayı ile kalansız bölünmesini isteme.
• **Çok adımlı akıl yürütme:** Önce EBOB–EKOK, ardından paket/parça sayısı veya zaman farkı hesaplama.

Konu Özeti

• **EBOB:** Ortak bölenlerin **en büyüğü**.
• **EKOK:** Pozitif ortak katların **en küçüğü**.
• EBOB hesabında **ortak asallar ve küçük üsler**, EKOK hesabında **bütün asallar ve büyük üsler** seçilir.
• **En uzun eş parça, en büyük kare kenarı, en çok aynı içerikli paket** genellikle EBOB modelidir.
• **İlk ortak zaman, buluşma, tekrar, ortak kat** genellikle EKOK modelidir.
• **İki sayı için:** EBOB × EKOK = sayıların çarpımı.
• Soru çözümünde asıl sonucu bulduktan sonra **toplam parça**, **kişi başı miktar** veya **kaç kez** gibi ek işlemleri denetle.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• İki veya üç sayının EBOB ve EKOK değerlerini doğru bulabiliyorum.
• Sözcüklerden sorunun EBOB mu EKOK mu gerektirdiğini anlayabiliyorum.
• İp/kumaş kesme, en büyük kareyle döşeme, paketleme problemlerini çözebiliyorum.
• Zil ve servislerin ortak tekrar zamanını, istenen saat veya ortak tekrar sayısını hesaplayabiliyorum.
• EBOB–EKOK çarpım ilişkisini yalnız uygun koşullarda kullanıyorum.