Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri | Ders Notu

Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri — LGS Matematik Ders Notu

Temel Kurallar

**√a×√b=√(ab)** (a,b≥0).

**√a÷√b=√(a/b)** (a≥0, b>0).

Kök dışı katsayılar da varsa:

**(a√b)(c√d)=ac√(bd)**, **(a√b)/(c√d)=(a/c)√(b/d)** (b,d≥0; bölmede c,d>0).

**Karekök negatif olamaz.** Ayrıca payda sıfır olamaz. Çarpma ve bölme, aynı öncelikteki işlemlerdir; parantez yoksa soldan sağa ilerlenir.

Çarpma Örnekleri

| İşlem | Tek kökte gösterim | Sonuç | |---|---|---| | √2×√8 | √16 | 4 | | √3×√12 | √36 | 6 | | √6×√15 | √90 | 3√10 | | √8×√3 | √24 | 2√6 | | √12×√27 | √324 | 18 | | (2√3)(3√12) | 6√36 | 36 | | (3√5)(2√15) | 6√75 | 30√3 | | (4√5)(3√10) | 12√50 | 60√2 |

Örnek: **(5√3)(2√6)=10√18=30√2**. Katsayıları birbirleriyle, kök içlerini de birbirleriyle çarpıp daha sonra sadeleştir.

Bölme Örnekleri

| İşlem | Tek kökte gösterim | Sonuç | |---|---|---| | √18÷√2 | √9 | 3 | | √75÷√3 | √25 | 5 | | √24÷√3 | √8 | 2√2 | | (6√10)/(3√2) | 2√5 | 2√5 | | (8√21)/(4√3) | 2√7 | 2√7 | | (9√40)/(3√2) | 3√20 | 6√5 |

Örnek: **(12√30)/(3√5)=4√6**; çünkü katsayı oranı 12/3=4, kök içi oranı 30/5=6'dır.

Parantez ve İşlem Sırası

**(√12×√75)÷√3=√(12×75/3)=√300=10√3**.

**(4√15×3√10)/(2√6)=6√25=30**.

**(3√7×2√14)/√2=6√49=42**.

Katsayıları ve kök içlerini ayrı işlemek hesap hatasını azaltır. Eşitlikleri kontrol etmek için sonucunu ters işlemle çarpabilir veya bölebilirsin.

Alan ve Uzunluk Modeli

Bir dikdörtgende **alan = kenar × kenar**; **diğer kenar = alan ÷ bilinen kenar**.

• Bir karenin kenarı **3√2 cm** ise alanı (3√2)²=**18 cm²**.
• Dikdörtgenin kenarları **4√3 cm** ve **2√6 cm** ise alanı **24√2 cm²**.
• Dikdörtgenin alanı **72√3 cm²**, bir kenarı **6√3 cm** ise diğer kenarı **12 cm**.
• **12√18 m** ip, **3√2 m** uzunluğunda parçalara ayrılırsa **12 parça** çıkar.

Bilinmeyenli İşlemler

**2√3×x√12=72** ⇒ 12x=72 ⇒ **x=6**.

**x√5×3√20=90** ⇒ 30x=90 ⇒ **x=3**.

**(a√6)/√3=4√2** ⇒ a√2=4√2 ⇒ **a=4**.

**1≤n≤30** için √(18n)/√2=3√n doğal sayı olsun. n tam kare olmalıdır: 1,4,9,16,25; **5 farklı değer** bulunur.

Sık Yapılan Hatalar

1. **√a×√b=√(a+b)** sanmak: çarpmada kök içleri çarpılır.
2. **√a+√b=√(a+b)** sanmak: toplama bu şekilde yapılamaz.
3. **√24/√3=√8** yazıp bırakmak: en sade sonuç **2√2**'dir.
4. (2√3)(3√5) işleminde 2 ve 3'ü toplamak: katsayılar **çarpılır**.
5. **√0'a bölmeye çalışmak**: sıfıra bölme tanımsızdır.
6. Alan sonucunun birimini cm yerine **cm²** yazmayı unutmak.

Kısa Özet

• **Çarpma:** √a√b=√(ab).
• **Bölme:** √a/√b=√(a/b), b>0.
• Katsayılı ifadelerde dış katsayılarla, kök içleri kendi aralarında işleme girer.
• Sonucu **en sade köklü biçime** getir.
• Alan için çarpma; verilmeyen kenar için bölme kullan.
• Doğal sayı sonuçta kök içinin tam kare olması önemlidir.
• Köklerin toplamı çarpma kuralıyla sadeleştirilmez; **sıfıra bölme yasaktır**.