Olası Durumları Belirleme | Konu Anlatımı

Olası Durumları Belirleme

Konu Özeti

Bir deney yapıldığında sonucunu önceden kesin olarak bilemiyorsak ama hangi sonuçların ortaya çıkabileceğini belirleyebiliyorsak, olası durumları inceliyoruz demektir. Bir madeni paranın üst yüzü yazı veya tura gelebilir. Bir standart zarın üst yüzünde 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 görülebilir. Kutudan bir harf kartı seçildiğinde kutudaki harflerden biri elde edilir.

1. sınıf Matematik'te **Olası Durumları Belirleme** konusunun amacı, bir rastgele deneyin bütün mümkün sonuçlarını sistemli olarak listelemek ve bunların kaç farklı tane olduğunu bulmaktır. Böylece daha sonraki olasılık hesaplarının temelini oluştururuz. Bu aşamada ağırlığımız **olabilir mi, kaç farklı sonuç var, hangi sonuçlar mümkündür?** sorularıdır.

Örneğin A, B ve C harfleri yazılı üç karttan biri seçilecekse mümkün sonuçlar A, B ve C'dir. Üç sonucun olması her birinin mutlaka aynı sıklıkta çıkacağı anlamına gelmez. Öncelikle bütün olası sonuçları eksiksiz belirlemek gerekir.

**Bu konunun temel kavramları:** rastgele deney, sonuç, örnek uzay, olay, sistematik listeleme, ağaç şeması, çarpma ilkesi, sıra ve geri koyma koşulu.

1. Rastgele Deney Nedir?

Sonucu önceden kesin olarak belirlenemeyen, ancak gerçekleşebilecek sonuçları bilinen işleme **rastgele deney** denir.

Örnekler:

• Bir madeni parayı havaya atıp üst yüzünü gözlemek.
• Bir standart zarı bir kez atıp üstteki sayıyı kaydetmek.
• Farklı harflerin yazılı olduğu kartlardan birini seçmek.
• Renkli bölmeleri bulunan bir çarkı çevirip okun geldiği rengi okumak.

Deneyin açıkça belirtilmesi çok önemlidir. Örneğin iki kartın peş peşe çekilmesi ile tek kartın çekilmesi farklı deneylerdir. Ayrıca ilk kartın geri konulup konulmadığı, mümkün sonuç sayısını değiştirebilir.

Deneyin **gözlenen özelliği** de önemlidir. Bir torbada üç kırmızı ve iki mavi bilye bulunuyorsa, yalnız renk kaydedilen tek çekilişte iki farklı sonuç vardır: kırmızı ve mavi. Bilyeler tek tek numaralandırılıp numaraları kaydedilseydi beş farklı sonuç olurdu. Hangi bilgiyi gözlediğimiz, örnek uzayı belirler.

2. Olası Sonuç ve Örnek Uzay

Deney sonunda gözlenebilecek her farklı duruma **olası sonuç** denir. Bütün olası sonuçların oluşturduğu kümeye **örnek uzay** adı verilir. Örnek uzay genellikle S harfiyle gösterilir.

Standart bir zar için:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Örnek uzayın eleman sayısı **6**'dır.

Standart bir madeni para için:

S = {Yazı, Tura}

Örnek uzayın eleman sayısı **2**'dir.

Bir kutuda yalnız A, B, C ve D kartları varsa:

S = {A, B, C, D}

Örnek uzayın eleman sayısı **4**'tür.

Kümenin içine kutuda bulunmayan E harfini eklemek yanlıştır. Gerçekte mümkün olan D harfini çıkarmak da yanlıştır. Örnek uzay hem **eksiksiz** hem **gereksiz sonuç içermeyen** bir liste olmalıdır.

3. Olayın Olası Sonuçları

**Olay**, örnek uzaydaki belirli bir koşulu karşılayan sonuçların oluşturduğu alt kümedir. Bir zarı attığımızda üst yüze çift sayı gelmesi olayını düşünelim.

Örnek uzay: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Çift sayı olayı: A = {2, 4, 6}

Bu olay için **3** sonuç mümkündür. Burada bütün deneyin 6 sonucu olmasıyla 'çift sayı gelmesi' olayının 3 uygun sonucu olması birbirinden ayrılır.

Başka örnekler:

• Tek sayı gelmesi: {1, 3, 5} → 3 sonuç.
• 4'ten küçük sayı gelmesi: {1, 2, 3} → 3 sonuç.
• 3'e tam bölünen sayı gelmesi: {3, 6} → 2 sonuç.
• 2'den büyük sayı gelmesi: {3, 4, 5, 6} → 4 sonuç.

Soru 'deneyin kaç sonucu vardır?' diyorsa örnek uzaydaki bütün sonuçları; 'koşulu sağlayan kaç sonuç vardır?' diyorsa olayın alt kümesini sayarız.

4. Aynı Yazının veya Rengin Tekrarlanması

Bir çarkın altı eş bölmesinde sırayla A, B, A, C, B, C yazsın. Okun geldiği **harf** kaydediliyorsa S = {A, B, C} olur. Altı bölme olmasına rağmen yalnız **üç farklı harf** gözlenebilir.

Çarkın **hangi bölme numarasında** durduğu kaydedilseydi, bölmeler numaralandırıldığı için altı farklı sonuç olurdu. Öyleyse 'kaç bölme var' ve 'kaç farklı gözlenen değer var' soruları aynı değildir.

Benzer şekilde torbada iki kırmızı, üç yeşil ve bir mavi bilye varsa tek çekilişte **yalnız renk** gözleniyorsa olası sonuçlar kırmızı, yeşil, mavidir. Burada renk sayısı üçtür; toplam bilye sayısı altıdır. Fakat bilyelerin her biri ayrı ayrı numaralandırılmış ve numara kaydedilmişse altı farklı sonuç oluşur.

5. Sonuçları Sistematik Listeleme

Birden fazla aşamalı deneylerde bütün sonuçları karışık yazmak bazı durumların unutulmasına yol açabilir. Bu nedenle listelemeyi sırayla yapmalıyız.

Örnek: Üzerlerinde A ve B yazan iki karttan biri, üzerlerinde 1, 2 ve 3 yazan üç karttan biri seçiliyor. İlk harfin ardından sayıyı yazalım:

S = {A1, A2, A3, B1, B2, B3}

**6 sonuç** vardır.

Listeyi şu düzende hazırlamak kolaydır:

1. Önce A'yı sabit tut ve ikinci aşamadaki 1, 2, 3 seçeneklerini eşleştir.
2. Sonra B'yi sabit tut ve ikinci aşamadaki 1, 2, 3 seçeneklerini eşleştir.
3. Sonuçların hiçbirini tekrar etmediğinden emin ol.

Bu yöntem sayesinde küçük örnek uzayları açıkça göstermek mümkün olur.

6. Ağaç Şeması ile Olası Sonuçları Bulma

Bir olayın birbirini izleyen aşamalarını **ağaç şeması** ile gösterebiliriz. Örneğin iki kez madeni para atıldığında ilk atışın Yazı ve Tura olarak iki dalı vardır. Her dal, ikinci atışın Yazı veya Tura sonuçlarına ayrılır.

Sonuçlar:

• (Yazı, Yazı)
• (Yazı, Tura)
• (Tura, Yazı)
• (Tura, Tura)

Yani **4 farklı sıralı sonuç** bulunur.

Burada (Yazı, Tura) ile (Tura, Yazı) aynı değildir; çünkü hangi atışta hangi sonucun çıktığı değişmiştir. Eğer yalnız toplam yazı sayısını gözlemleseydik, sonuçlar 0 yazı, 1 yazı ve 2 yazı biçiminde üç farklı kategoriye ayrılırdı. **Gözlenen özelliği** değiştirmek örnek uzayı da değiştirir.

7. Çarpma İlkesi

Her aşamada yapılabilecek seçim sayıları birbirinden bağımsızsa ve her ilk seçim ikinci aşamadaki bütün seçeneklerle eşleşebiliyorsa toplam sonuç sayısı bu sayıların çarpımıdır.

**Toplam sonuç sayısı = 1. aşama seçenek sayısı × 2. aşama seçenek sayısı × ...**

Örnek: 3 tişört ile 2 pantolondan birer tane seçilirse 3×2=**6 farklı kombinasyon** vardır.

Örnek: 4 ana yemek, 3 içecek ve 2 tatlı içeren bir menüden birer tane seçilirse 4×3×2=**24 farklı menü** oluşturulabilir.

Örnek: Bir para üç kez atılırsa her atışta iki seçenek olduğu için 2×2×2=**8 sıralı sonuç** oluşur.

Ancak her ilk seçim her ikinci seçimle eşleşemiyorsa doğrudan çarpma yapmak doğru değildir. Örneğin belirli bir tişört, iki pantolonla giyilemiyorsa önce bütün seçenekleri bulup yasak olanları çıkarabiliriz.

8. Deneyde Sıra Önemli mi?

İki nesne seçilirken **sıra** önemliyse (A, B) ile (B, A) farklı sonuç sayılır. Özellikle art arda yapılan çekilişlerde hangi nesnenin önce seçildiği kaydediliyorsa sıra önemlidir.

Örnek: Üç kart A, B, C arasından ikisi art arda seçilsin; ilk kart geri konmasın ve sıra kaydedilsin.

Olası sonuçlar:

S = {(A,B), (A,C), (B,A), (B,C), (C,A), (C,B)}

Toplam **6 farklı sonuç** vardır.

Sıra dikkate alınmıyorsa {A,B} ile {B,A} aynı seçim kabul edilir. Bu durumda sonuçlar {A,B}, {A,C}, {B,C} olur ve toplam üç farklı seçim bulunur.

Soru metninde 'ardışık', 'ilk', 'ikinci', 'sıralı' gibi sözcüklere dikkat et. Her art arda seçimde sıranın kaydedildiği varsayılmaz; açıkça **neyin sonuç olarak gözlendiği** önemlidir.

9. Geri Koyarak Seçme

Bir kutuda A, B, C etiketli üç kart olsun. Kart çekilip harfi kaydedildikten sonra kutuya **geri konuluyorsa** ikinci çekilişte yine üç seçenek vardır.

Sonuç sayısı: 3×3=**9**.

Olası sonuçların içinde (A,A), (B,B) ve (C,C) de vardır. Çünkü ilk kart geri konmuştur ve aynı kart tekrar çekilebilir.

Bu deneyde birinci çekilişin sonucu ikinci çekilişteki seçenek sayısını değiştirmez.

**Örnek:** Dört farklı rakam kartından geri koyarak art arda iki seçim yapıldığında sıra önemliyse 4×4=**16** sıralı sonuç vardır.

10. Geri Koymadan Seçme

A, B, C etiketli üç karttan ilki seçilip dışarıda tutulursa ikinci seçimde yalnız iki kart kalır.

Sonuç sayısı: 3×2=**6**.

Aynı kart ikinci kez seçilemeyeceğinden (A,A) gibi bir sonuç mümkün değildir.

Genel olarak birbirinden farklı **n karttan**, geri koymadan ve sıraya dikkat ederek iki seçim yapılırsa **n×(n−1)** sıralı sonuç elde edilir.

Örnekler:

• 4 farklı karttan iki çekiliş: 4×3=12 sonuç.
• 5 farklı karttan iki çekiliş: 5×4=20 sonuç.
• 6 farklı karttan iki çekiliş: 6×5=30 sonuç.

Bu işlemlerde kartların birbirinden ayırt edildiği ve her ikili sıranın ayrı sonuç sayıldığı varsayılmıştır. Yalnız renklerin kaydedildiği bir deneyde aynı renkli kartlar ayrı etiketler taşımıyorsa daha az farklı gözlem sonucu olabilir.

11. Üç Aşamalı Deneylerde Sayma

Çarpma ilkesi üç veya daha fazla aşamada da geçerlidir.

Bir kimlik kartı için 2 arka plan rengi, 3 yazı biçimi, 4 simgeden birer tane seçilebilsin. Hiçbir kısıtlama yoksa 2×3×4=**24** farklı tasarım oluşturulur.

Bir para üç kez atıldığında 2×2×2=8; dört kez atıldığında 2×2×2×2=16 sıralı sonuç vardır.

**Dikkat:** Bir deneyde seçenek sayıları aşamadan aşamaya değişiyorsa hepsini ayrı yaz. Örneğin A, B, C, D harflerinden üçünü tekrar etmeden sırayla seçeceksek 4×3×2=**24** sonuç bulunur; 4×4×4 yazılmaz.

Bir kartın seçilip dışarıda tutulması, yeni adımın seçenek sayısını azaltır. Adımların birbirinden bağımsız olduğunu ancak problem gerçekten buna izin veriyorsa kabul etmeliyiz.

12. Kısıtlı Seçimlerde Uygun Durumları Bulma

Bir etkinlikte 3 farklı forma ve 4 farklı şapkadan birer tane seçilecektir. Normalde 3×4=12 çift oluşturulabilir. Ancak kırmızı formayla iki belirli şapka kullanılamıyorsa **2 çift yasak** olur.

Geçerli sonuç sayısı: 12−2=**10**.

Kısıtları hesaba katmadan verilen bütün sayıları çarpmak fazla sonuç bulmamıza yol açar. Soruda 'yalnız', 'farklı', 'eşit olamaz', 'kullanılamaz', 'ilk seçimden sonra' gibi sınırlayıcı sözcükleri mutlaka işaretle.

Küçük örneklerde geçerli çiftleri tek tek yazarak da kontrol yapabilirsin. Bu yöntem, özellikle yasaklı kombinasyonların birden fazla olduğu sorularda yararlıdır.

13. Rakam Kartlarıyla Sayı Oluşturma

Rakamlar kullanılarak sayı oluşturma deneylerinde iki ayrı şarta dikkat edilir:

1. Bir rakam yeniden kullanılabilir mi?
2. İlk basamak sıfır olabilir mi?

**İki basamaklı sayının onlar basamağı 0 olamaz.** Benzer biçimde üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı da 0 olamaz.

Örnek: 0, 1, 2, 3 rakamlarından tekrar etmeyen üç basamaklı sayılar oluşturulsun.

• Yüzler basamağı: 0 olamaz → 3 seçenek (1, 2, 3).
• Onlar basamağı: Kullanılmamış 3 rakamdan biri → 3 seçenek.
• Birler basamağı: Geriye kalan 2 rakamdan biri → 2 seçenek.

Toplam: 3×3×2=**18 farklı sayı**.

Sıfır içermeyen 1, 3, 5 ve 7 rakamlarından tekrar etmeden üç basamaklı sayı oluşturulacaksa 4×3×2=**24 sayı** elde edilir.

Rakamlar tekrar edebiliyorsa farklı hesap gerekir. Örneğin 1, 2 ve 3 rakamlarıyla iki basamaklı sayı yazarken tekrar serbestse 3×3=9 farklı sayı oluşur. Tekrar yasaksa 3×2=6 farklı sayı oluşur.

14. Tek ve Çift Sayı Oluşturma

İki basamaklı bir sayının **çift** olması için birler basamağının 0, 2, 4, 6 veya 8; **tek** olması için 1, 3, 5, 7 veya 9 olması gerekir.

Örnek: 0, 1, 2, 3 ve 4 rakamları tekrarsız kullanılacak. İki basamaklı **çift** sayılar oluşturulacaktır.

Sistematik listeleme:

• Birler basamağı 0 ise onlar basamağı 1, 2, 3, 4 olabilir → 4 sayı.
• Birler basamağı 2 ise onlar basamağı 1, 3, 4 olabilir → 3 sayı.
• Birler basamağı 4 ise onlar basamağı 1, 2, 3 olabilir → 3 sayı.

Toplam 4+3+3=**10 farklı çift sayı**.

İki basamaklı tek sayılar için de birler basamağındaki tek seçenekleri belirleyip onlar basamağına sıfır gelmemesini ve tekrarı engellemeyi kontrol ederiz.

Bu örnek, her durumda tek bir sabit çarpım formülünün yeterli olmayacağını gösterir. Bazı koşullar bir basamaktaki seçime göre diğer basamağın seçenek sayısını değiştirir.

15. Aynı Renkteki Nesnelerle Art Arda Seçim

Bir torbada **2 kırmızı, 1 mavi ve 1 yeşil** bilye bulunsun. Geri koymadan art arda iki bilye seçiliyor ama bilyelerin **yalnız renkleri ve sıra** kaydediliyor.

İlk bakışta üç renk olduğu için 3×3=9 renk çifti düşünürüz. Ancak torbada yalnız bir mavi bulunduğundan (Mavi, Mavi) mümkün değildir. Yalnız bir yeşil bulunduğundan (Yeşil, Yeşil) de mümkün değildir.

Olası sıralı renk çiftleri:

• (Kırmızı, Kırmızı)
• (Kırmızı, Mavi)
• (Kırmızı, Yeşil)
• (Mavi, Kırmızı)
• (Mavi, Yeşil)
• (Yeşil, Kırmızı)
• (Yeşil, Mavi)

Toplam **7 farklı gözlenebilir renk çifti** vardır.

Torbada 4 fiziksel bilye bulunması, 4×3=12 farklı **fiziksel seçili bilye sırası** verebilir. Ancak yalnız renkler kaydedildiği için bu 12 sıra, 7 farklı renk sonucuna dönüşür. Deneyin sonuç tanımı bu farkın nedenidir.

16. Olası Durumları Bulmanın Üç Yöntemi

**Listeleme:** Seçenek azsa bütün durumları sırayla yaz. İki para atışı için dört sonuç yazmak kolaydır.

**Ağaç şeması:** Seçimlerin aşamalarını dallar hâlinde göster. Geri koyma, kısıt ve sıra bilgisi çok belirginleşir.

**Çarpma ilkesi:** Her aşamadaki seçenek sayısı belliyse bütün sonuçları tek tek yazmadan çarp. Kısıt varsa çarpımın neyi saydığını yeniden kontrol et.

Çözümde bir yöntemi diğerinin yerine zorunlu olarak seçmek gerekmez. Hızlı bir çarpma sonucu bulup küçük örnek uzayı listeleyerek denetlemek güvenilir bir alışkanlıktır.

17. LGS Tarzı Soru Yaklaşımları

LGS tarzı bir soru, çoğu zaman günlük yaşamdan küçük bir seçim deneyini tablo, çark, kart veya şekil üzerinden anlatır. Çeldiriciler genellikle şu hatalardan doğar:

• Çarktaki **bölme sayısını**, farklı renk sayısı sanmak.
• İki seçimde **sırayı** dikkate almamak ya da gereksiz yere dikkate almak.
• İlk kart geri konmadığı hâlde seçenek sayısını değiştirmemek.
• İkinci kart için aynı etiketin yeniden seçilemediğini unutmak.
• Rakamlarla sayı oluştururken başa sıfır koymak.
• Yasak kombinasyonları toplamdan düşmemek.
• Yalnız renk gözlendiği hâlde aynı renk bilyeleri farklı sonuç saymak.

Soruya başlamadan önce **'neyi sonuç olarak kaydediyoruz?'** sorusunu sor. Cevap bazen bir sayı, bazen harf, bazen bir sıralı çift, bazen de tek bir renk olabilir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. **Deneyin sonuçları – olayın sonuçları:** Bir zarda bütün yüzler 6, çift sayı gelmesi olayının uygun yüzleri 3'tür.
2. **Aynı renkli iki bilye:** Yalnız renk kaydediliyorsa aynı renkli bilyeler her zaman ayrı gözlem sonucu oluşturmaz.
3. **Sıralı çift:** AB ile BA, ilk ve ikinci seçim kaydediliyorsa farklıdır.
4. **Geri koyma:** Geri koyarak ikinci aşamada ilk seçenek sayısı korunabilir; geri koymadan seçenek azalır.
5. **Tekrar etmeyen rakamlar:** Her seçilen rakam sonraki aşamadan çıkarılır.
6. **Baştaki sıfır:** Üç basamaklı bir sayı 0 ile başlayamaz.
7. **İzin verilen kombinasyon:** Kısıtlı eşleştirmede bütün çiftleri bulup yasak olanları çıkarmak gerekir.
8. **Olası sonuç sayısı – olasılık:** 12 farklı sonuç bulunması her birinin aynı olasılıkta olduğu anlamına gelmez.
9. **Çarpma ilkesi:** Yalnız gerçekten mümkün olan aşama eşleşmelerine uygulanır.
10. **Toplam nesne sayısı – farklı özellik sayısı:** Altı bölmeli bir çarkta üç farklı harf bulunabilir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

**1. Deneyi belirle:** Tek seçim mi, art arda seçim mi, kaç aşama var?

**2. Gözlenen bilgiyi belirle:** Kart numarası mı, renk mi, sıralı çift mi, oluşturulan sayı mı?

**3. Kuralları işaretle:** Geri konuyor mu, tekrar serbest mi, sıra önemli mi, yasak eşleşme var mı?

**4. Uygun yöntemi seç:** Tek aşamada listele; küçük iki aşamada ağaç şeması kur; bağımsız aşamalarda çarpma ilkesi kullan.

**5. Kısıtları uygula:** Tekrar yasağı veya yasak eşleşme varsa seçenekleri buna göre azalt.

**6. Sonucu denetle:** Aynı sonuç iki kez sayılmış mı, bir sonuç unutulmuş mu, imkânsız durumlar listede var mı?

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• [ ] Rastgele deney, sonuç ve örnek uzay kavramlarını ayırt edebiliyorum.
• [ ] Bir kart seçme, zar atma veya çark çevirme deneyinin bütün olası sonuçlarını yazabiliyorum.
• [ ] Koşulu sağlayan sonuçları örnek uzaydan ayırabiliyorum.
• [ ] Birden çok aşamalı deney için ağaç şeması veya sistematik liste kurabiliyorum.
• [ ] Sıralı sonuçlarda AB ile BA'nın ne zaman farklı olduğunu açıklayabiliyorum.
• [ ] Geri koyarak ve geri koymadan seçimler için doğru seçenek sayılarını belirleyebiliyorum.
• [ ] Bağımsız seçimlerde çarpma ilkesini kullanabiliyorum.
• [ ] Rakam kartlarıyla sayı oluştururken sıfırı ve tekrar yasağını kontrol edebiliyorum.
• [ ] Kısıtlı seçimlerde geçersiz eşleşmeleri çıkarabiliyorum.
• [ ] Yalnız gözlenen özelliğe göre farklı olası sonuçları sayabiliyorum.

Konu Sonu Uygulaması

**Uygulama 1:** Bir kutuda kırmızı, mavi ve sarı etiketler var. Tek çekilişte yalnız etiket okunuyor. Örnek uzay {Kırmızı, Mavi, Sarı}; üç sonuç.

**Uygulama 2:** A, B, C harfli üç karttan birer kart geri koyarak iki kez çekiliyor. Sonuç sayısı 3×3=9.

**Uygulama 3:** Aynı kartlardan geri koymadan çekiliyor. Sonuç sayısı 3×2=6.

**Uygulama 4:** Bir menüde iki çorba, üç ana yemek ve iki tatlı var. Her türden bir seçenekle 2×3×2=12 menü oluşturulur.

**Uygulama 5:** 1, 2, 3, 4 rakamlarıyla tekrarsız iki basamaklı sayı yapılırsa 4×3=12 sayı oluşur.

Örnekleri çözerken hangi sonucun gözlendiğini ve hangi kısıtların bulunduğunu daima açıkça belirt. **Olası durumların doğru listelenmesi**, sonraki olasılık konularının temelidir.