Sayı ve Şekil Örüntüleri ve Algoritmalar | Konu Anlatımı

Sayı ve Şekil Örüntüleri ve Algoritmalar — Konu Anlatımı

1. Örüntü nedir?

Belirli bir kurala göre düzenlenmiş sayı, şekil veya nesne dizilerine **örüntü** denir. Bu bölümde bir örüntünün **adımı (terim sırası)**, her adımdaki **sayı veya şekil sayısı**, ardışık adımlar arasındaki **artış ya da azalış** ve **adım numarası ile terim arasındaki ilişki** incelenir. Bazı dizilerde sayılar düzenli görünse de ilk birkaç sayı, tek başına bir kuralın kesinliğini göstermeyebilir. Örüntünün kuralını verilen adımlarda kontrol etmek gerekir.

2. Artış ve azalış miktarını belirleme

**8, 13, 18, 23, ...** dizisinde ardışık terimler arasındaki fark **5**'tir. Bir sonraki terim 28'dir. **72, 65, 58, 51, ...** dizisinde her adımda **7 çıkarılır**; sonraki terim 44 olur. Bir örüntünün sabit farkını belirlemek için bitişik iki terimi çıkarın, sonraki çiftlerde de aynı farkın bulunup bulunmadığını araştırın.

• Her adımda 4 artan örnek: 6, 10, 14, 18, ...
• Her adımda 3 azalan örnek: 20, 17, 14, 11, ...
• Beşer artan ve ilk adımı 5 olan örnek: 5, 10, 15, 20, ...
• Dörder artan ve ilk adımı 7 olan örnek: 7, 11, 15, 19, ...

3. Adım numarası ile terim arasında kural kurma

Sabit artışlı bir örüntünün başlangıç sayısı **a**, her adımda artış miktarı **d** ise **n. adımdaki sayı = a + (n − 1) × d** bağıntısıyla bulunur. Buradaki (n − 1), ilk adımda henüz artış yapılmamış olmasındandır. Bu, 5. sınıf düzeyinde adım sayısı ile sayı arasındaki ilişkiyi kısa yoldan gösterir.

Örnek: **4, 7, 10, 13, ...**: ilk sayı 4, fark 3. 1. adım = 4, 2. adım = 4 + 3, 3. adım = 4 + 6. Kural: **3 × adım sayısı + 1**. 41. adım **3 × 41 + 1 = 124** olur. Aynı kuralı **4 + (41 − 1) × 3** olarak da kullanabilirsiniz.

Örnek: **80, 88, 96, 104, ...**: ilk sayı 80 ve artış 8. 7. adım 80 + 6 × 8 = **128**.

4. Kuralın doğruluğunu birkaç adımda sınama

Bir öğrenci **4, 7, 10, ...** için 'adım sayısının 3 fazlası' diyebilir. Bu öneri 1. adımda 4 verir ama 2. adımda **5** verir; oysa gerçek sayı **7**'dir. 'Adım sayısının dört katı' önerisi de yalnız ilk adımda tutar. Doğru ilişki **adım sayısının üç katının bir fazlası**dır: 1. adım 4, 2. adım 7, 3. adım 10.

Bir dizide farklar sürekli değişiyorsa **sabit fark vardır** diyemezsiniz. **2, 5, 9, 14, ...** dizisinde farklar 3, 4 ve 5'tir; her adımda 'eşit miktarda artma' kuralıyla açıklanamaz. Buna karşılık **9, 14, 19, 24, ...** farkı hep 5 olduğundan sabit farkı vardır.

5. Şekil örüntülerini sayılarla ifade etme

Şekil örüntüsünde adım adım eklenen **kare, daire, rozet, çubuk, kibrit veya nokta** sayısını tabloya yazmak yararlıdır. Örneğin 1. adımda 3, 2. adımda 7, 3. adımda 11 çubuk bulunuyorsa farklar 4'tür. 4. adım 15 çubuktur; **n. adım = 4 × adım sayısı − 1**. 25. adımda 4 × 25 − 1 = **99** çubuk kullanılır.

Başka bir örnekte her adımda **3 üçgen daha** yer alıp 1. adımda 3 üçgen varsa 35. adımda **3 × 35 = 105** üçgen bulunur. Şekli bütün adımları çizmeden sayabilmek, örüntü kuralının temel yararıdır.

6. Terim numarasını bulma ve geriye doğru ilerleme

Bir örüntünün belirli bir sayıya kaçıncı adımda ulaştığı sorulabilir. **5, 9, 13, 17, ...** örüntüsünde 45 sayısının sıra numarasını bulalım. Başlangıç 5 olduğundan fark **45 − 5 = 40**; her adımda 4 artıldığı için **40 ÷ 4 = 10 artış** vardır. İlk adım da sayıldığında **11. adım** bulunur. Sonucu 5 + (11 − 1) × 4 = 45 ile doğrulayın.

Azalan bir örüntüde örneğin 60, 54, 48, 42, ... dizisinde 30'a ulaşmak için 60 − 30 = 30 azalmak gerekir. Her azalış 6 olduğundan 5 azalış ve toplam **6 adım** vardır.

7. Algoritma: bir işi açık adımlara ayırma

Belirli bir amaca ulaşmak veya bir problemi çözmek için tasarlanan **sıralı, açık ve uygulanabilir adımlar bütününe algoritma** denir. Yemek tarifi, alışveriş fiyat karşılaştırması, alan veya çevre hesaplama, toplama ve tekrarlı çıkarma işlemleri algoritmaya dönüştürülebilir.

**Örnek — Bir dikdörtgenin çevresini hesaplama algoritması:**

1. Başla.
2. Kısa kenarı al.
3. Uzun kenarı al.
4. Kısa ve uzun kenarı topla; toplamı 2 ile çarp.
5. Sonucu yaz.
6. Bitir.

Kenarlar 10 m ve 25 m ise hesap **2 × (10 + 25) = 70 m**'dir. Sayıları verip doğru formülü uygulamak algoritmanın **işlem** adımıdır.

8. Akış şeması ve temel şekiller

Algoritma adımlarının oklarla birbirine bağlanmış şekillerle gösterimine **akış şeması** denir. Kitaptaki temel sembolleri şu şekilde okuyun:

• **Oval:** Başla / Bitir.
• **Paralelkenar:** Veri girişi veya sonuç/çıktı gösterme.
• **Dikdörtgen:** Hesaplama veya işlem.
• **Eşkenar dörtgen:** Karar / Evet-Hayır sorusu.
• **Ok:** Adımların izleneceği yön.

**Ayran yapma** örneğinde sırayla malzemeler eklenir, çırpılır, ardından **'Tuz yeterli mi?'** sorusu sorulur. Cevap **hayır** ise tuz ekleme/karıştırma adımlarına dönülür; **evet** ise ayran bardağa doldurulur. Karar sorusu, aynı işlemin tekrarlanmasına neden olabilir.

9. Tekrarlı işlemleri algoritmaya dönüştürme

**Tekrarlı toplama:** 19 tane 5'i toplamak için 19 × 5 = **95** hesaplanır. Algoritmada 'sayıyı gir', 'tekrar sayısını gir', 'çarp' ve 'sonucu yaz' adımları vardır.

**Tekrarlı çıkarma ile bölme:** 12'yi 3'e bölmek için 12'den 3'ü art arda çıkarın: 12 → 9 → 6 → 3 → 0. Çıkarma **4 kez** yapıldığından bölüm **4**'tür. 12'nin 3'e tam bölündüğü durumlarda 0'a ulaşılır; kalanlı bölmede bölen sayısından küçük pozitif bir sayı kalabilir.

**Birim fiyat:** 400 gramlık bir ürün 140 TL ise önce **100 gram fiyatı 140 ÷ 4 = 35 TL**, sonra **1 kilogram fiyatı 35 × 10 = 350 TL** bulunur. 700 gramlık başka ürün 210 TL ise 100 gram fiyatı 30 TL ve 1 kg fiyatı 300 TL'dir; bu iki fiyat **eşit miktar** için karşılaştırılmalıdır.

10. Algoritmayı izleme ve hatayı bulma

Bir algoritmada **girdi**, verilen başlangıç bilgisidir; **işlem**, girdi üzerinde yapılan hesaplamadır; **çıktı**, ulaşılan sonuçtur. Örneğin 'Bir sayı al; ikiyle çarp; 10 ekle; ikiye böl; başlangıçtaki sayıyı çıkar' işlemini 7 için izleyin: 7 → 14 → 24 → 12 → **5**. Başlangıçta 7 yerine 12 alsanız da sonuç 5'tir: 12 → 24 → 34 → 17 → 5. Yönergeleri tek tek uygulamak, genel bir sonuca ulaşmadan önce örnekleri doğrulamanızı sağlar.

Algoritmaların **sırası** önemlidir: '5 ekle, sonra 2 ile çarp' ve '2 ile çarp, sonra 5 ekle' aynı değildir. Başlangıç 8 ise ilkinde (8 + 5) × 2 = 26; ikincisinde 8 × 2 + 5 = 21 olur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• 4, 7, 10, ... için 'n + 3' yalnız ilk adımda işe yarar; doğru kural **3n + 1** anlamındadır.
• İlk sayı 4 ve fark 3 ise 41. sayı **4 + 40 × 3**, yani 124'tür; **4 + 41 × 3** değildir.
• Şekil örüntüsünde '3. adım' ile '3 şekil' aynı anlama gelmez.
• **Sabit artış** her adımda aynı miktarı eklemek demektir; rastgele değişen farklar için uygulanmaz.
• **Algoritma** çözümün adımlarıdır; **akış şeması** bu adımların sembollerle çizimidir.
• **Karar** sorusu için eşkenar dörtgen; **hesap** için dikdörtgen kullanılır.
• Tekrarlı çıkarma sayısını bulurken başlangıç sayısını **bir çıkarma** sanmayın.
• Ürün fiyatlarını 400 g ile 700 g üzerinden doğrudan karşılaştırmak yanlış olabilir; eşit gramajla hesaplayın.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Dizideki ilk üç-dört terimi ve aralarındaki farkları not edin.
2. Fark sabitse ilk terimi **a**, farkı **d**, istenen adımı **n** olarak belirleyin.
3. İstenen terimi **a + (n − 1) × d** ile bulup ilk iki adımda kuralı sınayın.
4. Ters soruda hedef terimden ilk terimi çıkarın; farkı bölerek **artış sayısını**, ardından **adım numarasını** hesaplayın.
5. Şekil problemini önce **adım–şekil sayısı tablosuna** çevirin.
6. Algoritmada girdi → işlem → karar (varsa) → çıktı sırasını açıkça takip edin.
7. Sonucu günlük yaşamla karşılaştırın; miktar, para ve uzunluk birimlerini yazın.

Konu Özeti

Örüntüler, belirli bir düzenle ilerleyen sayı ve şekillerden oluşur. Sabit artışlı bir örüntüde **n. terim = ilk terim + (n − 1) × fark** ilişkisi kullanılır. Şekil örüntüsü sayılara çevrilerek aynı şekilde incelenebilir. Algoritma bir amaca ulaşmak için düzenlenmiş **sıralı adımlar**, akış şeması bu adımların **görsel gösterimi**dir. Oval başla/bitir, dikdörtgen işlem, eşkenar dörtgen karar, paralelkenar giriş/çıkış, ok ise yön belirtir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Sayı ve şekil örüntülerindeki artış/azalışı belirlemek.
• Düzenli farkı bulunmayan dizileri fark etmek.
• Adım numarası ile o adımdaki terimi ayırt etmek.
• İlk terim ve farktan örüntünün uzak bir adımını hesaplamak.
• Hedef terimin kaçıncı adımda bulunduğunu göstermek.
• Şekil örüntülerini tabloya dönüştürmek ve kuralını açıklamak.
• Algoritma adımlarını doğru sırayla yazmak.
• Akış şemasındaki başlangıç, işlem, girdi/çıktı ve karar sembollerini tanımak.
• Tekrarlı toplama/çıkarma ve birim fiyat problemlerini algoritmayla çözmek.
• Algoritmanın verdiği sonucu yerine koyarak doğrulamak.