Çarpanlar, Katlar, Bölünebilme ve Asal Sayılar Ders Notu

Çarpanlar, Katlar, Bölünebilme ve Asal Sayılar — Ders Notu

Çarpan ve bölen

• 1'den büyük n sayısının pozitif çarpanları, n'yi kalansız bölen doğal sayılardır.
• 1 her pozitif doğal sayının çarpanıdır; n'nin en büyük pozitif çarpanı kendisidir.
• Çarpan çiftlerini yazarak eksiksiz liste oluştur: 30=1×30=2×15=3×10=5×6.
• 30'un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 tane).
• Bir sayı tam kareyse eşit çarpan çifti yalnız bir kez sayılır: 25=5×5.

Katlar

• n'nin pozitif katları: n, 2n, 3n, 4n, ... (sonsuz sayıda).
• 8'in 50'den küçük katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48.
• Sabit periyotlu olayların ortak gerçekleşme zamanları ortak katlardır.

Bölünebilme tablosu

| Bölen | Kural | Kontrol örneği | |---|---|---| | 2 | Son basamak çift veya 0 | 134 bölünür. | | 3 | Rakamlar toplamı 3'ün katı | 231 → 2+3+1=6. | | 4 | Son iki basamak 4'ün katı ya da 00 | 1516 → 16. | | 5 | Son basamak 0 veya 5 | 735 bölünür. | | 6 | 2 ve 3'ün ikisine de bölünme | 234: son rakam 4; toplam 9. | | 9 | Rakamlar toplamı 9'un katı | 729 → 18. | | 10 | Son basamak 0 | 680 bölünür. |

**Eksik rakam örneği:** 4A8 sayısı 9 ile kalansız bölünüyorsa 4+A+8=12+A ifadesi 9'un katı olmalı. 0≤A≤9 olduğundan A=6'dır.

Asal sayı ve asal çarpan

• 1 asal değil; 2 en küçük ve tek çift asal sayıdır.
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ... asal sayılardır.
• 72=2×2×2×3×3 → farklı asal çarpanlar 2 ve 3; asal çarpanlara ayırma işlemi 1'e ulaşınca biter.
• 45=3×3×5; farklı asal çarpanlar 3 ve 5.
• Çarpan ağacı ile asal çarpan algoritması aynı asal çarpanları verir.

Ortak kat ve ortak bölen

• 6'nın katları 6,12,18,24,30,36,...; 9'un katları 9,18,27,36,...; ortak katlar 18,36,54,...
• 24'ün bölenleri 1,2,3,4,6,8,12,24; 36'nın bölenleri 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Ortak bölenler 1,2,3,4,6,12.
• Eşit aralıkla tekrarlanan olaylarda ortak katları, artmadan eş parçalara bölmelerde ortak bölenleri ara.
• Ortak bölenlerin yalnız 1 olması durumunda sayılar **aralarında asal**dır. Örnek: 8 ve 15.

Çözümlü sorular

**1.** 18 bisküvi 3'erli paketlenirse 18÷3=6 paket gerekir; 3, 18'in çarpanıdır.

**2.** 5 dakikada bir ve 8 dakikada bir yanıp sönen iki lamba aynı anda yanıp sönmeye başladıysa yeniden birlikte 40 dakika sonra yanar: 5,10,...,40 ve 8,16,...,40.

**3.** 6A4 sayısı 3'e bölünsün: 6+A+4=10+A. 10+A, 3'ün katı olmalı; A=2,5,8 olabilir.

**4.** 48=2×2×2×2×3; farklı asal çarpanları 2 ve 3'tür.

**5.** 20 ve 30 cm iki çubuk aynı uzunluktaki parçalara ayrılacaksa 1, 2, 5, 10 cm parça uzunlukları uygundur. En büyük eş parça 10 cm'dir.

Sık Karıştırılanlar

• "n'nin böleni" ile "n'nin katı" birbirinin tersi değildir.
• 4'e bölünme son **iki** basamakla incelenir.
• 6'ya bölünme yalnızca çift olmayı gerektirmez; rakamlar toplamı da 3'ün katı olmalıdır.
• 1 asal sayı değildir; aralarında asal iki sayının ikisi de bileşik olabilir.
• Ortak katlar sonsuz devam eder; ortak bölenler sonludur.

Soru Çözerken Yaklaşım

1. Sınırı ve istenen büyüklüğü belirle.
2. Çarpan çiftlerini veya katları düzenli sırala.
3. Birden fazla bölünebilme koşulunu tek tek sınayıp ortak çözümleri seç.
4. Asal çarpanlarda aynı asalın tekrarını ayrı tür olarak sayma.
5. Pakete, eş aralığa, zamana ve adetlere göre mantık kontrolü yap.

Kısa Özet

**Çarpan:** kalansız bölen; **kat:** pozitif doğal sayı ile çarpım. **2/5/10:** son rakam; **4:** son iki basamak; **3/9:** rakam toplamı; **6:** hem 2 hem 3. **Asal sayı:** 1'den büyük, yalnız 1 ve kendisine bölünen doğal sayı. **Ortak kat:** birlikte tekrar; **ortak bölen:** artmadan eşit parçalama. **Aralarında asal:** ortak pozitif bölen yalnız 1.