Çarpanlar, Katlar, Bölünebilme ve Asal Sayılar Konu Anlatımı

Çarpanlar, Katlar, Bölünebilme ve Asal Sayılar — Konu Anlatımı

Bu konu, **MEB 6. Sınıf Matematik 1. Kitap, 1. Tema: Sayılar ve Nicelikler (1), s. 16–57** kapsamındadır. Çarpan ve kat kavramlarından bölünebilme ölçütlerine; asal sayılardan ortak kat, ortak bölen ve aralarında asal sayılara kadar tek bir bütün olarak çalışılır.

1. Doğal sayıların çarpanları ve bölenleri

Bir sayıyı iki doğal sayının çarpımı olarak yazarken her çarpan çiftini bir kez say: 36 = 1×36 = 2×18 = 3×12 = 4×9 = 6×6. Bu nedenle 36'nın farklı pozitif çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. **6×6 tek çift** oluşturur; 6 iki kez yazılmaz.

**Yöntem:** Çarpanları küçükten büyüğe sırala, çarpan çiftlerini birlikte yaz, sayının karekökünü aşınca yeni çift aramayı bırak. Soruda "kaç farklı grup büyüklüğü?" deniyorsa tüm uygun bölenleri değerlendir.

2. Doğal sayıların katları

Sayı örüntülerinde sabit artış kullanılır. 7'nin sırasıyla ilk beş pozitif katı 7, 14, 21, 28, 35 olur. 100'den küçük 12 katlarını sayarken 12×1'den 12×8=96'ya kadar gideriz, 12×9=108 sınırı aşar.

3. Kalansız bölünebilme kuralları

Bir sayının 9'a bölünebilmesi, 3'e de bölünebilmesi demektir; tersi her zaman doğru değildir. Örneğin 123'ün rakamları toplamı 6'dır: 3'e bölünür, 9'a bölünmez. 4'e bölünebilme için yalnız son iki basamağa bakılır. 2716 sayısının son iki basamağı 16 olduğundan 4'e bölünür.

4. Asal sayılar ve asal çarpanlar

İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... . Asal çarpan, sayının pozitif bölenlerinden asal sayı olanıdır. Örneğin 84=2×2×3×7; farklı asal çarpanlar **2, 3 ve 7**'dir. 2'nin iki kez görünmesi, farklı asal çarpan sayısını artırmaz.

**Çarpan ağacı:** 84 → 2×42 → 2×2×21 → 2×2×3×7. **Asal çarpan algoritması:** 84'ü sırayla 2, 2, 3, 7 asal sayılarına bölerek 1'e ulaş. Her iki yol aynı asal çarpanları verir.

**Eratosthenes kalburu:** 1'i ele; 2, 3, 5, 7 gibi asal sayıların kendilerini koruyup bu sayıların daha büyük katlarını sil. 100'e kadarki asal sayıları bu yöntemle bulabilirsin.

5. Ortak katlar ve ortak bölenler

24 kg elma ile 36 kg armut birbirine karıştırılmadan aynı kapasitede ve hiç artmayacak kutulara konulacaksa kapasite hem 24'ü hem 36'yı bölmelidir: 1, 2, 3, 4, 6 veya 12 kg. En büyük kapasite 12 kg seçilirse 2+3=5 kutu kullanılır.

6. Aralarında asal sayılar

Ardışık iki pozitif doğal sayının ortak pozitif böleni 1'dir. Ancak aralarında asal olmayan iki sayının ortak bölenlerinden 1 dışında en az biri daha bulunur. Örneğin 12 ve 18, 2, 3, 6 ortak bölenlerine de sahip olduğu için aralarında asal değildir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Çarpan ile kat karıştırılır: 4, 20'nin çarpanıdır; 20, 4'ün katıdır.
• "4'e bölünebilme" rakamlar toplamına göre değil **son iki basamağa** göre değerlendirilir.
• "9'a bölünür" 3'e de bölünmeyi sağlar; yalnız 3'e bölünmek 9'a bölünmeyi garanti etmez.
• 1 asal sayı değildir; 2 asal olup aynı zamanda çifttir.
• 72=2×2×2×3×3 için farklı asal çarpan sayısı **2**'dir, toplam asal çarpan adedi **5**'tir.
• Ortak bölen bulmak için iki sayının da **bölenlerini** karşılaştır; katlar başka bir kavramdır.
• Aralarında asal sayılar birbirlerinden farklı ve tek olmak zorunda değildir; 8 ve 15 örneğini anımsa.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Soru "bölen" mi "kat" mı istiyor? Önce bunu belirle.
2. İstenen sayıları ve aralığı yaz; "küçük", "büyük", "dahil" gibi sınır sözcüklerini dikkatle oku.
3. Bölenleri çarpan çiftleriyle, katları düzenli çarpımla listele.
4. Bölünebilme sorularında en az işlem gerektiren rakam kuralından başla, bütün kuralları kontrol et.
5. Asal çarpanları bulurken 1'i asal çarpan sayma ve tekrarlı asal çarpanı tek say.
6. Birlikte tekrarlama için ortak kat, artmadan eşit parçalara ayırma için ortak bölen kullan.
7. Cevabı işleme geri koy: bütün bölme koşulları sağlanıyor mu?

Konu Özeti

Doğal sayıların pozitif çarpanları sonlu, pozitif katları sonsuzdur. Bölünebilme kuralları son rakam, son iki basamak veya rakamlar toplamı üzerine kuruludur. Asal sayı yalnız iki pozitif bölen taşır. Her 1'den büyük doğal sayı asal çarpanlarına ayrılabilir. Ortak katlar düzenli tekrarları, ortak bölenler eşit büyüklükte bölüşümleri açıklar. Aralarında asal sayıların ortak pozitif böleni yalnız 1'dir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Bir doğal sayının tüm pozitif çarpanlarını ve belirtilen aralıktaki katlarını bulabilirim.
• 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile bölünebilme kurallarını uygulayabilirim.
• Rakamı bilinmeyen sayıların bölünebilme koşullarını çözebilirim.
• Asal sayıları, asal çarpanları ve çarpan ağacını kullanabilirim.
• İki doğal sayının ortak kat ve ortak bölenlerini bulabilirim.
• Aralarında asal sayı çiftlerini açıklayıp örnek verebilirim.
• Günlük yaşamda eşit paketleme ve periyodik tekrar problemlerini çözebilirim.