Rasyonel Sayıların Farklı Gösterimleri, Karşılaştırılması ve Sıralanması Ders Notu

Ders Notu: Rasyonel Sayıların Gösterimi ve Sıralanması

1. Gösterimler

• Payı paydaya bölerek ondalık gösterime geçilir: 3/4=0,75; 7/8=0,875.
• Sonlu ondalık: virgülden sonra sınırlı sayıda basamak; örnek 0,625.
• Devirli ondalık: bir rakam veya rakam grubu sürekli tekrar eder; örnek 0,(6)=0,666...
• Sonlu ondalıktan kesre: 0,36=36/100=9/25; −1,2=−12/10=−6/5.

2. Sonlu / Devirli Kararı

• **Önce sadeleştir.** En sade payda yalnız 2 ve 5 asal çarpanlarını taşıyorsa sonlu gösterim vardır.
• En sade paydada 2 ve 5 dışında asal çarpan varsa devirli gösterim bulunur.
• 6/15=2/5=0,4 (sonlu); 5/6=0,8333... (devirli).

3. Devirli Sayıdan Kesre

• Devreden rakam sayısı kadar 9; devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0 paydaya yazılır.
• Pay = virgülsüz bütün rakamlar − devretmeyen kısmın rakamları.
• 0,(6)=6/9=2/3.
• 0,(18)=18/99=2/11.
• 0,1(2)=(12−1)/90=11/90.
• 2,(3)=(23−2)/9=21/9=7/3.
• 0,(9)=1; sonlu 0,99 ile karıştırma.

4. Karşılaştırma ve Sıralama

• Sayı doğrusunda sağ büyük, sol küçük; dikey gösterimde yukarı büyük, aşağı küçük.
• Pozitif rasyonel > 0 > negatif rasyonel.
• Negatif sayılarda 0'a daha uzak olan, daha küçüktür: −5/6 < −1/2.
• Ortak paydayla: 3/5=9/15; 2/3=10/15, dolayısıyla 3/5 < 2/3.
• Ortak payla (pozitif sayılarda): 3/4 > 3/7.
• Ondalıkla: 5/8=0,625 ve 3/5=0,6; 5/8 büyüktür.

5. İki Rasyonel Sayı Arasında

• İki farklı rasyonel sayının arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur.
• 1/4=2/8, 3/4=6/8; aradaki 3/8, 4/8 ve 5/8 örnektir.
• 'Arasında' denildiğinde uçtaki sayılar dahil edilmez.

Karıştırma ve Hatırlatma

• 0,(27) ile 0,27 farklıdır.
• Sadece paydanın ilk yazılışına bakma; kesri sadeleştir.
• −2/3 > −3/4; negatiflerde işaret yönü önemlidir.
• Aynı sayının denk kesirleri yeni bir rasyonel sayı değildir.

Kısa Özet

Sonlu ondalıkta tekrar yoktur; devirli ondalıkta bir grup sürekli yinelenir. Kesir sadeleştiğinde paydada yalnız 2 ve 5 varsa gösterim sonludur. Rasyonel sayılar sayı doğrusu, ortak payda ve ondalık gösterimle sıralanır; her iki farklı rasyonel sayı arasında yeni rasyonel sayılar vardır.