Rasyonel Sayıların Farklı Gösterimleri, Karşılaştırılması ve Sıralanması Konu Anlatımı

Rasyonel Sayıların Farklı Gösterimleri, Karşılaştırılması ve Sıralanması

1. Bir Rasyonel Sayının Farklı Gösterimleri

Bir rasyonel sayı hem kesir biçiminde hem de ondalık gösterimle anlatılabilir. Örneğin bir metrenin dörtte biri 1/4 m veya 0,25 m olarak yazılır. İki gösterim aynı miktarı belirtir. Rasyonel sayının ondalık gösterimini elde etmek için payı paydaya böleriz. Bir kesri, paydası 10, 100 veya 1000 olacak şekilde genişletmek de pratik bir yöntemdir: 3/5 = 6/10 = 0,6 ve 7/20 = 35/100 = 0,35.

2. Sonlu Ondalık Gösterimler

Payı paydaya bölme işlemi sona eriyorsa sonlu ondalık gösterim elde edilir. Örneğin 3/8 = 0,375 ve 9/20 = 0,45'tir. Sonlu ondalık gösterimleri kesre dönüştürmek için virgülden sonraki basamak sayısı kadar 0 taşıyan 10'un kuvveti paydaya yazılır; kesir sadeleştirilir: 0,24 = 24/100 = 6/25. Negatif değerlerde işaret korunur: −1,25 = −125/100 = −5/4.

3. Kesrin Ondalık Gösteriminin Sonlu mu Devirli mi Olduğunu Belirleme

Önce kesri en sade biçime getirmek gerekir. En sade kesrin pozitif paydasının asal çarpanları yalnız 2 ve/veya 5 ise ondalık gösterim sonludur. Bunun dışında 3, 7, 11 gibi asal çarpanlardan biri bulunuyorsa gösterim devirlidir. Örneğin 7/40 sonludur, çünkü 40 = 2³·5; 5/12 ise devirlidir, çünkü 12'nin asal çarpanlarından biri 3'tür. Önemli nokta, kesrin **sadeleşmiş paydasına** bakmaktır: 6/15 = 2/5, dolayısıyla sonludur.

4. Devirli Ondalık Gösterim

0,333... sayısında 3 rakamı; 0,272727... sayısında 27 grubu devir eder. Metin içinde gösterim kolaylığı için 0,(3) ve 0,(27) yazılabilir; parantez, tekrar eden grubu belirtir. 0,(3) = 3/9 = 1/3 ve 0,(27) = 27/99 = 3/11'dir. Devirli basamaklar virgülden hemen sonra başlamayabilir: 0,1(6) = 0,1666... = 1/6.

Devirli ondalık sayıyı kesre dönüştürürken paya, virgül atılarak yazılan tam rakam dizisinden devir etmeyen kısımdan oluşan sayı çıkarılarak elde edilen fark yazılır. Paydaya, devreden basamak sayısı kadar 9, virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.

5. 0,999... Neden 1'e Eşittir?

0,(9) sayısı, 9/9 biçiminde yazılır; bu da 1'dir. Başka bir yol: 1/3=0,333... olduğuna göre her iki tarafın 3 katı 1 = 0,999... verir. Buradaki 9'lar belirli sayıda değil, sonsuza kadar tekrar eder; 0,9 veya 0,99 ile 0,(9) aynı sayı değildir.

6. Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Karşılaştırma

Sayı doğrusunda sağdaki sayı daha büyük, soldaki sayı daha küçüktür. Bütün pozitif rasyonel sayılar 0'dan büyüktür, bütün negatif rasyonel sayılar 0'dan küçüktür. Negatif sayılarda sıfırdan daha uzak ve solda bulunanın değeri daha küçüktür: −3/4 < −1/2. Dikey sayı doğrusunda ise yukarıdaki nokta daha büyük değeri gösterir.

7. Pay ve Payda Eşitleyerek Karşılaştırma

Pozitif kesirlerin paydaları eşitse payı büyük olan büyüktür: 7/10 > 3/10. Payları eşitse paydası küçük olanın değeri büyüktür: 3/4 > 3/8. İşaretler aynı olduğunda ve paydalar farklıysa ortak paydada yazarak karşılaştırılabilir: 2/3 = 8/12 ve 3/4 = 9/12; böylece 2/3 < 3/4 bulunur. Negatiflerde işaretleri unutmadan sıralama yapılır: −3/4 < −2/3.

8. Ondalık Gösterim ve Yakınlıkla Karşılaştırma

Bazen ondalık gösterime geçmek daha hızlıdır: 3/8=0,375; 2/5=0,4. Bu yüzden 2/5 daha büyüktür. Bir değerin 0'a, 1/2'ye veya 1'e yakınlığı da kıyaslamayı kolaylaştırır; ancak yakınlık tek başına gerçek sıralama yerine geçmez. Tam kısımlar farklıysa önce onları karşılaştırmak yararlıdır: 1,25 < 1,7.

9. İki Rasyonel Sayı Arasına Yeni Sayılar Yerleştirme

Herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında başka rasyonel sayılar bulunur. Örneğin 1/3 ile 3/4 arasında 1/2 vardır. Daha çok örnek bulmak için eşdeğer kesirlerde paydaları büyütebiliriz: 1/3=4/12 ve 3/4=9/12; aralarında 5/12, 6/12, 7/12, 8/12 bulunur. Sayı doğrusunda tam orta noktayı belirlemek de yeni sayı bulma stratejisidir. İki rasyonel sayı arasında yalnız bir değil, sonsuz sayıda farklı rasyonel sayı vardır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• 0,333... devirlidir; 0,33 sonludur.
• 6/15'in sadeleşmemiş paydasına bakarak devirli sonucuna ulaşılmaz; 2/5=0,4 sonludur.
• 0,2(7) sayısı 0,27 ile aynı değildir; 0,27777... biçimindedir.
• 0,(9) = 1; 0,99 ise 1'den küçüktür.
• −3/4 ve −1/2 için payı ya da paydayı tek başına karşılaştırma: −3/4 daha küçüktür.
• 1/2 ile 2/4 aynı rasyonel sayıdır; bu iki yazım sayı doğrusunda farklı nokta değildir.
• 'İki sayı arasında' ifadesinde iki uç değer dahil edilmez.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Sorunun gösterim dönüştürme mi, sınıflandırma mı, sıralama mı istediğini belirle.
2. Kesri önce en sade hâle getir; sonlu/devirli kararında yalnız bu hâldeki paydayı kullan.
3. Ondalık kesre dönüşümde virgülden sonra kaç basamak olduğunu say.
4. Devirli sayıda devreden rakamları ayrı belirle; 9 ve 0'ları doğru sırayla yaz.
5. Sayıları sıralamadan önce işaretleri ve tam kısımları karşılaştır; gerekirse payda eşitle.
6. Negatif değerleri sayı doğrusu üzerinde soldan sağa yerleştirerek kontrol et.
7. Aralık sorularında kesirleri ortak paydada yaz ve uç değerleri dışarıda bırak.

Konu Özeti

Rasyonel sayılar sonlu veya devirli ondalık gösterimle ifade edilebilir. Sade kesrin paydasındaki asal çarpanlar 2 ve 5 ile sınırlıysa ondalık gösterim sonludur. Devirli gösterimler de kesre çevrilebilir. Rasyonel sayılar sayı doğrusu, ortak payda ya da ondalık gösterimleri kullanılarak sıralanır. Her iki farklı rasyonel sayı arasında başka rasyonel sayılar vardır.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Kesir ve ondalık gösterim arasında geçiş yapmak.
• Sonlu ve devirli ondalık gösterimleri ayırt etmek.
• En sade kesrin paydasına bakarak ondalık gösterim türünü belirlemek.
• Devirli ondalık gösterimleri kesre dönüştürmek.
• 0,(9) = 1 eşitliğini açıklamak.
• Pozitif ve negatif rasyonel sayıları karşılaştırıp sıralamak.
• İki farklı rasyonel sayı arasında yeni rasyonel sayılar göstermek.