Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Kenarortay İnşası Ders Notu

Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Kenarortay İnşası – Ders Notu

Dört yardımcı elemanın farkı

• **Açıortay:** Köşedeki açıyı iki eş açıya böler. AD açıortaysa BAD=DAC.
• **Kenarortay:** Köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştirir. AD kenarortaysa BD=DC.
• **Yükseklik:** Köşeden karşı kenara veya kenarın uzantısına dik çizilir. Yükseklik ve karşı kenar arasındaki açı 90°'dir.
• **Kenar orta dikme:** Kenarın orta noktasından geçer, kenara diktir. Köşeden geçme zorunluluğu yoktur.

Açıortay ve kenarortay hesapları

Açıortayda eş açıları birbirine eşitle. Örneğin BAD=4x+1°, DAC=2x+19° ise 4x+1=2x+19 ve x=9. Her açı 37°, tepe açısının tamamı 74° olur.

Kenarortayda eş kenar parçalarını birbirine eşitle. Örneğin BD=5x−6 cm, DC=2x+15 cm ise 5x−6=2x+15; x=7. Her parça 29 cm; BC=58 cm olur.

**Kenarortayın uzunluğu, kestiği kenarın yarısı değildir.** Yalnız BD ve DC parçaları eşittir. Kenarortay AD'nin uzunluğu başka bir büyüklüktür.

Kenarortayların kesişimi: Ağırlık merkezi

Üç kenarortay her üçgende iç bölgede tek noktada buluşur: **ağırlık merkezi**. Ağırlık merkezi ile yüksekliklerin kesişim noktasını aynı sanma. Yüksekliklerin kesişimi üçgen çeşidine göre değişir.

Yüksekliklerin konumu

| Üçgen türü | Yüksekliklerin veya uzantılarının kesişimi | |---|---| | Dar açılı | Üçgenin iç bölgesi | | Dik açılı | Dik açının köşesi | | Geniş açılı | Üçgenin dış bölgesi |

Geniş açılı üçgende iki yüksekliğin ayakları karşı kenarların uzantılarına düşebilir. Bu durum çizimin yanlış olduğunu göstermez.

İkizkenar ve eşkenar özel durumu

AB=AC ikizkenar üçgeninde, A'dan BC tabanının orta noktasına çizilen kenarortay **yükseklik, açıortay, kenar orta dikme ve simetri doğrusu** ile çakışır. Eşkenar üçgende bu özellik üç kenara ait kenarortay için geçerlidir. Çeşitkenar üçgende bu özdeşliği otomatik kabul etme.

**Örnek:** AB=AC, A açısı 76°, BC uzunluğu 40 cm ise tepe kenarortayı iki 38° açı, tabanda iki 20 cm parça ve tabanla 90° yapar.

Pergel ve ölçüsüz cetvelle kenarortay inşası

1. Üçgenin BC kenarını belirle.
2. B ve C merkezli, **eş yarıçaplı** yaylar çiz. Yarıçap BC'nin yarısından büyük olsun.
3. Yayların üst-alt kesişimlerini birleştirerek BC'nin orta dikmesini elde et.
4. Orta dikmenin BC ile kesiştiği D noktası için BD=DC olur.
5. Karşı köşe A'yı D'ye birleştir: **AD kenarortaydır**.

Kâğıt katlama ile B ve C'yi üst üste getirmek BC'nin orta dikmesini belirler; orta noktayı A'ya bağlamak kenarortayı verir. İkizkenarın tabanında bu iki doğru çakışır, çeşitkenarda genellikle çakışmaz.

Çözümlü kısa örnekler

• BC=46 cm, AD kenarortay: BD=DC=23 cm.
• A=110°, AD açıortay: BAD=DAC=55°.
• BD=3x+2 ve DC=2x+10, AD kenarortay: x=8, BD=DC=26, BC=52 cm.
• Dik üçgende yüksekliklerin kesişimi: dik açı köşesi.
• Geniş açılı üçgende yüksekliklerin kesişimi: dış bölge.
• BC=22 cm için orta dikme yay yarıçapı: 11 cm'den büyük, eş yarıçaplar.

Sık yapılan hatalar

• Eş açı işaretini eş kenar parçası işaretiyle karıştırmak.
• Yalnız orta noktadan geçen her doğruya kenarortay demek; kenarortay köşeye de ulaşır.
• Yalnız kenarı ortalayan doğruyu orta dikme sanmak; 90° şarttır.
• Geniş açılı üçgende dışarıya inen yüksekliği geçersiz saymak.
• Çeşitkenar üçgende kenarortayın açıortay veya yükseklik olduğunu varsaymak.
• Pergelin iki ucunda farklı yarıçap kullanıp doğru orta nokta elde etmeyi beklemek.

Kısa Özet

**Açıortay = iki eş açı. Kenarortay = iki eş kenar parçası. Yükseklik = köşeden dikme. Kenar orta dikme = orta nokta + 90°. Ağırlık merkezi = üç kenarortayın iç bölgede kesişmesi.** İnşada önce orta dikmeyle kenar ortasını bul, sonra karşı köşeyle birleştir.