Doğrusal İlişkiler, Grafikler ve Eğim Ders Notu

Doğrusal İlişkiler, Grafikler ve Eğim – Ders Notu

Kısa Özet

İki büyüklük arasında birinin eşit miktarda artmasına karşılık diğerinin her defasında **sabit miktarda** arttığı veya azaldığı ilişkilere doğrusal ilişki denir. Doğrusal denklemi `y = ax + b` biçiminde yazabiliriz. x bağımsız, y bağımlı değişken; a eğim, b y eksenini kesim değeridir.

Bir tablodan denklem bulma

| x | 0 | 1 | 2 | 3 | | --- | --- | --- | --- | --- | | y | 7 | 10 | 13 | 16 |

Her birimlik x artışıyla y üç artıyor. Başlangıç değeri 7 olduğundan ilişki `y = 3x + 7` dir. x artışı 2 olsaydı, aynı eğim için y artışının 6 olması beklenirdi.

Doğru grafiği çizme

İki farklı x değeri seç; denklemi kullanarak y leri bul; koordinat düzleminde noktaları yerleştir ve birleştir. Örneğin `y = 2x + 1` için `(0,1)` ve `(2,5)` doğruyu belirler. Üçüncü `(3,7)` noktası da eşitliği sağlar.

Eksenleri kesme

`y = 5` yatay doğru, `x = −4` düşey doğrudur. Yatay doğru x eksenine paraleldir. Düşey doğru y eksenine paraleldir. `y = 0` ve `x = 0` doğruları ise doğrudan eksenlerin kendileridir.

Eğim bulmanın iki yolu

**Denklemden:** `y = −3x + 6` için eğim `−3` tür. `x` in önündeki sayı alınır.

**İki noktadan:** `A(x₁,y₁)`, `B(x₂,y₂)` için `m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)` kullanılır. Yatay değişim sıfır olamaz; düşey doğruda eğim tanımsızdır.

Eğim işaretini yorumlama

• Eğim pozitifse x artarken y artar; grafik sağa doğru yükselir.
• Eğim negatifse x artarken y azalır; grafik sağa doğru alçalır.
• Eğim sıfırsa grafik yataydır.
• Eğim tanımsızsa grafik düşeydir.

Bir noktadan ve eğimden denklem

Doğrunun eğimi a ve bir noktası verilmişse `y = ax + b` içine o noktanın koordinatlarını yerleştir. Örneğin eğim 3 ve nokta `(2,7)` ise `7 = 3·2 + b`; `b = 1` ve denklem `y = 3x + 1` olur.

Yolların ve rampaların eğimi

Bir yolun 18 cm yükselmesine karşılık yatayda 120 cm ilerleniyorsa eğim `18/120 = 3/20 = 0,15` olur. Yüzde eğim `%15` tir. Yolun hangi yönde gidildiğinden bağımsız **diklik oranı** olarak dikey/yatay uzunlukların pozitif değerleri kullanılır.

Grafiklerin kesişim noktası

İki tarife için `y = 30 + 2x` ve `y = 10 + 4x` verilsin. Ücretler eşitlendiğinde `30 + 2x = 10 + 4x` olur. Buradan `x = 10`, ortak fiyat ise `y = 50` TL dir. Grafikler `(10,50)` noktasında kesişir.

Modelin anlamlı değerleri

Depodaki su miktarı sıfırdan küçük olamaz. `y = 500 − 25x` denklemi matematiksel olarak her x için hesaplanabilir; gerçek depo sorusunda süre `0` ile `20` saat arasındadır. Gerçek yaşam bağlamı doğruyu sınırlayan aralığı belirler.

Hızlı sağlamalar

1. Denklemin doğru olduğu söylenen noktanın koordinatları eşitliği sağlıyor mu?
2. Bulduğun eğimin işareti, tabloda y nin artış ya da azalış yönüyle tutarlı mı?
3. Başlangıç değeri x = 0 satırı veya y ekseni kesişimiyle uyuşuyor mu?
4. Eksen kesişiminde doğru koordinat sıfır yapıldı mı?
5. Günlük yaşam probleminde bulduğun süre ve miktar mantıklı mı?