Dönüşüm Geometrisi Ders Notu

Dönüşüm Geometrisi – Ders Notu

Kısa Özet

Öteleme ve yansıma şeklin **boyutunu ve biçimini değiştirmeyen** dönüşümlerdir. Ötelemede her köşe eş yön ve eş uzaklıkta yer değiştirir; yansımada bir doğruya göre ayna görüntüsü oluşur. Her iki dönüşüm sonunda kenar uzunlukları, açı ölçüleri, çevre ve alan korunur. Şekiller eştir.

Ötelemede koordinat hesabı

• Sağa `a` birim: `(x+a, y)`.
• Sola `a` birim: `(x−a, y)`.
• Yukarı `b` birim: `(x, y+b)`.
• Aşağı `b` birim: `(x, y−b)`.

Birden fazla yön varsa iki koordinatı ayrı hesapla. Örneğin P(−4, 3) noktası 7 birim sağa ve 5 birim aşağı ötelendiğinde P′=(3, −2) olur. İlk nokta ile görüntüsü arasındaki hareket bütün köşelerde aynı olmalıdır.

Yansımanın eksen kuralları

| Yansıma doğrusu | Değişen koordinat | Kural | |---|---|---| | x ekseni (yatay) | y | `(x, y) → (x, −y)` | | y ekseni (düşey) | x | `(x, y) → (−x, y)` |

Bir noktanın ayna doğrusuna dik uzaklığı ile görüntüsünün aynı doğruya dik uzaklığı **eşittir**. Yansıma doğrusu üzerinde bulunan nokta yansımada yerinde kalır. Aynı eksene göre iki kez yansımanın sonucu başlangıç noktasıdır.

Eksen dışındaki ayna doğruları

Kareli zeminde ayna doğrusu x = 2 ise P(5, 3) noktası 3 birim sağdadır; görüntüsü 3 birim solda yani P′=(−1, 3) olur. Ayna doğrusu y = −1 ise P(4, 2) noktası 3 birim yukarıdadır; görüntüsü 3 birim aşağıda P′=(4, −4) olur. Bu sorularda ezberlenmiş işaret kuralı yerine **eş dik uzaklık** düşünülmelidir.

Ardışık işlemlerde sıra

P(2, 3) önce y eksenine yansıtılıp sonra 5 birim sağa ötelenirse `(2, 3) → (−2, 3) → (3, 3)` olur. İşlemler ters sırada olsaydı `(2, 3) → (7, 3) → (−7, 3)` elde edilirdi. İki sonuç eşit değildir. Buna karşılık y ekseni yansıması ile yalnız yukarı-aşağı öteleme farklı koordinatları etkilediği için bu özel durumda sıra sonucu değiştirmez.

Tersine işlem yaparak başlangıcı bulma

Bir nokta 6 birim sağa, 2 birim aşağı ötelenerek (1, −4) noktasına ulaşmışsa son noktadan 6 birim sola ve 2 birim yukarı git: başlangıç (−5, −2) olur. Yansımanın tersi ise aynı doğruya göre **yeniden yansıma**dır. Örneğin bir nokta y eksenine göre yansıtıldıktan sonra (4, 3) olduysa başlangıç (−4, 3) noktasıdır.

Hızlı kontrol tablosu

| Değişim | Öteleme | Yansıma | |---|---|---| | Kenar uzunluğu | Korunur | Korunur | | Açı ölçüsü | Korunur | Korunur | | Çevre ve alan | Korunur | Korunur | | Konum | Değişebilir | Değişebilir | | Aynadaki yöneliş | Değişmez | Tersine dönebilir | | Bütün noktalar aynı yön ve mesafede mi ilerler? | Evet | Genel olarak hayır |

Mini Alıştırma

1. A(−1, 4), 3 birim sola ve 2 birim yukarı: A′=(−4, 6).
2. B(5, −2), x eksenine göre yansıma: B′=(5, 2).
3. C(−7, 3), y eksenine göre yansıma: C′=(7, 3).
4. D(4, 6), x = 1 doğrusuna göre yansıma: D′=(−2, 6).
5. E(−2, 1), önce x ekseni yansıması sonra 3 birim sağa öteleme: E′=(1, −1).

Her alıştırmada önce değişen koordinatı bul, sonra sabit kalan koordinatı aynen yaz. Dönüşümle kenar uzunluğunun değiştiğini görürsen işlemleri yeniden kontrol et.