TYT Geometri Analitik Geometri Konu Anlatımı

Analitik Geometri

Analitik geometri; geometrik şekilleri koordinat düzleminde cebirsel yöntemlerle incelemeyi sağlar. TYT'de özellikle nokta koordinatları, iki nokta arası uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemleri önemlidir.

1. Koordinat Düzlemi

Birbirine dik iki sayı doğrusundan oluşan düzleme koordinat düzlemi denir.

Yatay eksen → x ekseni Dikey eksen → y ekseni Kesişim noktası → Orijin

1. Noktanın Koordinatları

Bir nokta:

A(x,y)

şeklinde gösterilir.

İlk sayı x koordinatı, ikinci sayı y koordinatıdır.

1. Bölgeler

Koordinat düzlemi dört bölgeye ayrılır.

1. Eksen Üzerindeki Noktalar

Bir nokta x ekseni üzerindeyse:

Bir nokta y ekseni üzerindeyse:

1. Orijine Uzaklık

A(x,y) noktasının orijine uzaklığı:

1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık

A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktaları arasındaki uzaklık:

1. Yatay Doğrultudaki İki Noktanın Uzaklığı

y koordinatları eşitse:

1. Dikey Doğrultudaki İki Noktanın Uzaklığı

x koordinatları eşitse:

1. Orta Nokta

A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) doğru parçasının orta noktası:

1. Orta Noktadan Bilinmeyen Koordinat Bulma

1. Eğim

Bir doğrunun yatay eksenle yaptığı yönsel değişimi gösteren değere eğim denir.

A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi:

x₂−x₁ ≠ 0 olmalıdır.

1. Eğim Hesaplama

1. Pozitif ve Negatif Eğim

Soldan sağa doğru yükselen doğruların eğimi pozitiftir.

Soldan sağa doğru alçalan doğruların eğimi negatiftir.

1. Yatay Doğrunun Eğimi

Yatay doğruda y değeri değişmez.

Örneğin:

y=4

doğrusunun eğimi 0'dır.

1. Dikey Doğrunun Eğimi

Dikey doğruda x değeri değişmez.

Payda sıfır olacağından:

Örneğin:

x=3

dikey doğrudur.

1. Doğrunun Genel Denklemi

Doğru denklemi genel olarak:

şeklinde yazılabilir.

1. Eğim – Kesen Formu

Bir doğrunun denklemi:

şeklindeyse:

m → Eğimi n → y eksenini kestiği noktanın y koordinatını verir.

1. y=mx+n Denkleminde Eğim

1. Genel Denklemden Eğim Bulma

Doğru:

ax+by+c=0

şeklindeyse y yalnız bırakılır.

ax+by+c=0

by=−ax−c

y=−a/b·x−c/b

1. Bir Noktadan Geçen Doğru Denklemi

Eğimi m olan ve A(x₁,y₁) noktasından geçen doğru:

1. İki Noktadan Geçen Doğru

Önce iki noktadan eğim bulunur.

Sonra:

y−y₁=m(x−x₁)

kullanılır.

1. Doğrunun x Eksenini Kestiği Nokta

x ekseni üzerindeki her noktada:

Bu nedenle doğru denkleminde y yerine 0 yazılır.

1. Doğrunun y Eksenini Kestiği Nokta

y ekseni üzerindeki her noktada:

1. Eksenleri Kesen Doğru

Bir doğru x eksenini A(a,0), y eksenini B(0,b) noktalarında kesiyorsa:

Bu biçim kesenler formu olarak kullanılabilir.

1. Paralel Doğrular

Paralel doğruların eğimleri eşittir.

1. Dik Doğrular

Dik doğruların eğimlerinin çarpımı −1'dir.

1. Paralel Doğrunun Denklemi

1. Dik Doğrunun Denklemi

1. Doğrunun Üzerinde Nokta Kontrolü

Bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını anlamak için koordinatları denklemde yerine yazılır.

1. İki Doğrunun Kesişim Noktası

İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklem sistemi çözülür.

1. Paralel Doğruların Kesişimi

Eğimleri eşit, y eksenini kestikleri noktalar farklıysa doğrular paraleldir.

1. Çakışık Doğrular

Denklemleri birbirinin katı olan doğrular aynı doğruyu gösterir.

1. Eğim Açısı

Bir doğrunun pozitif x ekseniyle yaptığı açı α ise:

1. 45° Eğimli Doğru

Negatif eğimli benzer doğrularda işaret kontrol edilmelidir.

1. Koordinat Düzleminde Simetri – x Ekseni

A(x,y) noktasının x eksenine göre simetriği:

1. Koordinat Düzleminde Simetri – y Ekseni

A(x,y) noktasının y eksenine göre simetriği:

1. Orijine Göre Simetri

A(x,y) noktasının orijine göre simetriği:

1. x=y Doğrusuna Göre Simetri

Koordinatlar yer değiştirir.

1. Koordinat Düzleminde Üçgen Alanı – Eksenler

Bir doğru x eksenini (a,0), y eksenini (0,b) noktalarında kesiyorsa eksenlerle oluşan üçgenin alanı:

1. Koordinat Düzleminde Dikdörtgen Alanı

Kenarları eksenlere paralel olan bir dikdörtgende yatay ve düşey uzaklıklar ayrı ayrı bulunur.

1. Doğru Denkleminde Sabit Terim

y=mx+n denkleminde:

Ancak n eğim değildir.

1. İşaret Hatalarına Dikkat

Eğim formülünde:

(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

kullanılırken aynı sıralama korunmalıdır.

1. Dikey Doğruda Eğim Kullanma Hatası

x=a biçimindeki doğru dikeydir.

Bu iki durum sık karıştırılır.

1. Paralel ve Dik Doğrularda Hızlı Kontrol

1. Bilinmeyen Parametre Soruları

1. Dik Doğruda Parametre

1. İki Noktanın Aynı Yatay Doğruda Olması

İki noktanın y koordinatları eşitse aralarındaki doğru yataydır.

1. İki Noktanın Aynı Dikey Doğruda Olması

İki noktanın x koordinatları eşitse aralarındaki doğru dikeydir.

1. Uzaklık Formülünün Temeli

İki nokta arasındaki uzaklık formülü Pisagor teoreminden gelir.

1. Orta Nokta Formülünün Mantığı

Orta noktanın x koordinatı x değerlerinin, y koordinatı y değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.

1. Doğru Denkleminde İlk Yapılacak İşlem

1. Kesişim Sorularında İlk Yapılacak İşlem

1. Nokta – Doğru Sorularında Kontrol

Bir nokta verilip doğru üzerinde olup olmadığı sorulursa formül ezberlemek gerekmez.

1. Grafik Okuma Mantığı

Bir doğrunun:

Eğimi → yönünü ve dikliğini

y-kesiği → y eksenini nerede kestiğini

gösterir.

1. Analitik Geometride Temel Formüller

Sık Karıştırılan Noktalar

• Nokta gösteriminde önce x, sonra y yazılır. • x ekseni üzerindeki noktada y=0'dır. • y ekseni üzerindeki noktada x=0'dır. • Yatay doğrunun eğimi 0'dır. • Dikey doğrunun eğimi tanımsızdır. • Paralel doğruların eğimleri eşittir. • Dik doğruların eğim çarpımı −1'dir. • y=mx+n denkleminde m eğim, n y-kesiğidir. • Uzaklık formülünde farkların kareleri alınır. • Orta nokta bulunurken koordinatlar ayrı ayrı ortalanır. • Genel denklemde x'in katsayısını doğrudan eğim sanma; önce y'yi yalnız bırak. • Şeklin görünüşüne değil koordinat ve denklemlere göre işlem yap.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce soruda nokta mı, uzaklık mı, eğim mi yoksa doğru denklemi mi istendiğini belirle.
2. Koordinatları düzenli biçimde yaz.
3. Eğim gerekiyorsa iki noktadan eğimi hesapla.
4. Doğru denkleminde bilinen bir noktayı kullan.
5. Paralellik veya diklik varsa eğim ilişkisini hemen uygula.
6. Eksen kesişimlerinde x=0 veya y=0 kullan.
7. Kesişim noktası sorularında iki doğru denklemini birlikte çöz.
8. Sonucun koordinat mı, uzunluk mu, eğim mi olduğuna dikkat et.

Konu Özeti

Orijin: O(0,0)

Bölgeler: I → (+,+) II → (−,+) III → (−,−) IV → (+,−)

İki nokta arası uzaklık: √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

Orta nokta: ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

Eğim: m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)

Doğru: y=mx+n

Nokta-eğim: y−y₁=m(x−x₁)

Genel denklem: ax+by+c=0

Genel denklemde eğim: m=−a/b

Paralel doğrular: m₁=m₂

Dik doğrular: m₁·m₂=−1

Yatay doğru: y=a, m=0

Dikey doğru: x=a, eğim tanımsız