TYT Geometri Üçgende Alan Ders Notu

Üçgende Alan Ders Notu

Üçgende Alan konusu; temel alan formülü, taban-yükseklik ilişkisi ve üçgenler arasında alan oranı kurma yöntemlerini kapsar. TYT'de özellikle ortak yükseklik, ortak taban, kenarortay, açıortay ve benzerlik üzerinden alan soruları önemlidir.

1. Üçgenin Alanı

Bir üçgenin alanı:

Alan = Taban × Yükseklik / 2

ABC üçgeninde BC taban ve A'dan BC'ye ait yükseklik h ise:

Alan(ABC) = BC·h/2

Örnek: Taban 10, yükseklik 6 ise Alan=30.

1. Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına indirilen dik doğru parçasıdır.

Yükseklik, seçilen tabana dik olmalıdır.

1. Farklı Tabanlarla Alan

Bir üçgende her kenar taban seçilebilir.

A = a·hₐ/2 = b·hᵦ/2 = c·h꜀/2

Seçilen tabana ait doğru yükseklik kullanılmalıdır.

1. Dik Üçgende Alan

Dik kenarlar birbirine yükseklik olduğundan:

Alan = Dik kenar₁ × Dik kenar₂ / 2

Örnek: Dik kenarlar 6 ve 8 ise Alan=24.

1. Aynı Yüksekliğe Sahip Üçgenler

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır.

Alan₁/Alan₂ = Taban₁/Taban₂

Örnek: Tabanlar 4 ve 7 ise alan oranı 4:7'dir.

1. Aynı Tepe Noktalı Üçgenler

Aynı tepe noktasına sahip ve tabanları aynı doğru üzerinde bulunan üçgenlerin yükseklikleri aynıdır.

Bu nedenle:

Alan oranı = Taban oranı

1. Aynı Tabana Sahip Üçgenler

Tabanları eşit olan üçgenlerin alanları yükseklikleriyle orantılıdır.

Alan₁/Alan₂ = h₁/h₂

1. Eş Taban ve Eş Yükseklik

Tabanlar ve yükseklikler eşitse alanlar da eşittir.

Eş taban + eş yükseklik → Eş alan

1. Kenarortayın Alan Özelliği

Bir kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler.

AD kenarortay ise:

Alan(ABD) = Alan(ADC)

Örnek: ABC üçgeninin alanı 48 ise iki parçanın alanı da 24'tür.

1. Açıortayda Alan Oranı

AD açıortay ise:

Alan(ABD)/Alan(ADC) = BD/DC

Açıortay teoremine göre:

BD/DC = AB/AC

Bu nedenle:

Alan(ABD)/Alan(ADC) = BD/DC = AB/AC

Örnek: AB:AC=2:3 ise alan oranı da 2:3'tür.

1. Alan Oranından Alan Bulma

Örnek: Alan(ABD):Alan(ADC)=3:5 ve toplam alan 64 ise:

Toplam oran 8 birimdir.

Alan(ABD)=24 Alan(ADC)=40

1. Kenar Bölme ve Alan Oranı

D noktası BC üzerinde ise ABD ve ADC üçgenlerinin yükseklikleri aynıdır.

Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC

Örnek: BD:DC=4:7 ise alan oranı da 4:7'dir.

1. Alan Oranından Kenar Oranı

Aynı yükseklik söz konusuysa alan oranı doğrudan taban oranını verir.

Örnek: Alan(ABD):Alan(ADC)=5:8 ise BD:DC=5:8.

1. Kenarortaylar ve Alan

Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgen 6 eş alanlı küçük üçgene ayrılır.

Örnek: ABC üçgeninin alanı 72 ise her küçük üçgenin alanı 12'dir.

1. Ağırlık Merkezi ve Alan

Ağırlık merkezi G, üç kenarortayın kesişim noktasıdır.

ABC üçgeninde:

Alan(ABG) = Alan(BCG) = Alan(CAG)

Her biri toplam alanın üçte biridir.

Örnek: Toplam alan 60 ise her biri 20'dir.

1. Benzer Üçgenlerde Alan

Benzer üçgenlerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir.

Benzerlik oranı k ise:

Alan oranı = k²

Örnek: Kenar oranı 2:3 ise alan oranı 4:9'dur.

1. Alan Oranından Benzerlik Oranı

Alan oranı biliniyorsa kenar oranı karekök alınarak bulunur.

Örnek: Alan oranı 9:16 ise kenar oranı 3:4'tür.

1. Paralel Doğrular ve Alan

Bir üçgende tabana paralel doğru çizilirse benzer üçgenler oluşur.

Bu durumda uzunluk oranı k ise küçük ve büyük üçgenlerin alan oranı k² olur.

1. 45-45-90 Üçgeninde Alan

Dik kenarlar a ve a ise:

Alan = a²/2

Örnek: a=8 ise Alan=32.

1. 30-60-90 Üçgeninde Alan

Dik kenarlar a ve a√3 ise:

Alan = a²√3/2

Örnek: a=6 ise Alan=18√3.

1. Eşkenar Üçgende Alan

Kenar uzunluğu a ise:

Alan = a²√3/4

Örnek: a=8 ise Alan=16√3.

1. İkizkenar Üçgende Alan

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler.

Önce yükseklik Pisagor ile bulunabilir.

Örnek: Eşit kenarlar 13, taban 10 ise:

Tabanın yarısı=5 h²+5²=13² h=12

Alan=10·12/2=60

1. Alanların Toplanması

Bir üçgen daha küçük bölgelere ayrılmışsa:

Toplam alan = Parçaların alanları toplamı

Örnek: Alan(ABD)=18 ve Alan(ADC)=27 ise Alan(ABC)=45.

1. Eş Alanlı Üçgenler

Aynı yüksekliğe sahip iki üçgenin alanları eşitse tabanları eşittir.

Aynı tabana sahip iki üçgenin alanları eşitse yükseklikleri eşittir.

1. Geniş Açılı Üçgende Yükseklik

Geniş açılı üçgende bazı yükseklikler üçgenin dışına düşebilir.

Alan formülü yine aynıdır:

Alan = Taban × O tabana ait dik uzaklık / 2

1. Alan Sorularında Kısa Yol

Ortak yükseklik varsa → Taban oranına bak.

Ortak taban varsa → Yükseklik oranına bak.

Kenarortay varsa → Alanlar eşit.

Açıortay varsa → Alan oranı komşu kenar oranına eşit.

Benzerlik varsa → Alan oranı, kenar oranının karesi.

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Şekilde iki alan eşit görünüyor diye eşit kabul edilmez.

Alan ilişkisi taban, yükseklik, kenarortay, açıortay veya benzerlik gibi kesin bir bilgiye dayanmalıdır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Alan formülü Taban×Yükseklik/2'dir. • Yükseklik seçilen tabana dik olmalıdır. • Aynı yükseklikte alanlar tabanlarla orantılıdır. • Aynı tabanda alanlar yüksekliklerle orantılıdır. • Kenarortay üçgeni iki eş alanlı parçaya böler. • Açıortayda alan oranı AB:AC oranına eşittir. • Üç kenarortay üçgeni 6 eş alanlı parçaya böler. • Ağırlık merkeziyle oluşan ABG, BCG ve CAG üçgenlerinin alanları eşittir. • Benzer üçgenlerde alan oranı benzerlik oranının karesidir. • Geniş açılı üçgende yükseklik üçgenin dışında olabilir.

Üçgende Alan Kısa Özeti

Üçgen alanı: A=Taban×Yükseklik/2

Aynı yükseklik: Alan oranı=Taban oranı

Aynı taban: Alan oranı=Yükseklik oranı

Kenarortay: 2 eş alan

Üç kenarortay: 6 eş alan

Ağırlık merkezi: Alan(ABG)=Alan(BCG)=Alan(CAG)=Toplam alan/3

Açıortay: Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC=AB/AC

Benzer üçgen: Alan oranı=(Benzerlik oranı)²

45-45-90: Alan=a²/2

30-60-90: Alan=a²√3/2

Eşkenar: Alan=a²√3/4