TYT Matematik Basit Eşitsizlikler Ders Notu

Basit Eşitsizlikler

Eşitsizlik Nedir?

İki matematiksel ifadenin büyüklük veya küçüklük bakımından karşılaştırılmasına eşitsizlik denir.

Temel semboller:

> → büyüktür < → küçüktür ≥ → büyük veya eşittir ≤ → küçük veya eşittir

Örnek:

7 > 3

2 < 5

x ≥ 4

x ≤ 10

≥ ve ≤ sembollerinde sınırdaki değer çözüm kümesine dahildir.

Örneğin:

x ≥ 3

eşitsizliğinde x = 3 de çözümdür.

Sayı Doğrusunda Eşitsizlik

Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayılar büyür.

Örnek:

-5 < -2 < 0 < 3 < 8

Negatif sayılarda 0'a daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Örnek:

-2 > -7

Eşitsizliğin İki Tarafına Aynı Sayıyı Ekleme veya Çıkarma

Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenirse veya iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.

Örnek:

x - 3 > 5

Her iki tarafa 3 eklenirse:

x > 8

Örnek:

x + 4 ≤ 11

Her iki taraftan 4 çıkarılırsa:

x ≤ 7

Pozitif Sayıyla Çarpma veya Bölme

Bir eşitsizliğin iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez.

Örnek:

2x > 8

Her iki tarafı 2'ye bölersek:

x > 4

Negatif Sayıyla Çarpma veya Bölme

Bir eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.

> ↔ <

≥ ↔ ≤

Örnek:

-2x > 6

Her iki tarafı -2'ye bölelim.

x < -3

Örnek:

-4x ≤ 20

Her iki tarafı -4'e bölelim.

x ≥ -5

Birinci Dereceden Basit Eşitsizlikler

Amaç bilinmeyeni yalnız bırakmaktır.

Örnek:

2x + 3 < 11

2x < 8

x < 4

Örnek:

5x - 7 ≥ 13

5x ≥ 20

x ≥ 4

Negatif Katsayılı Eşitsizlikler

Bilinmeyenin katsayısı negatifse son bölme işleminde eşitsizliğin yönü değiştirilir.

Örnek:

7 - 3x > 16

-3x > 9

x < -3

Parantezli Eşitsizlikler

Önce parantez açılır, ardından bilinmeyen yalnız bırakılır.

Örnek:

2(x + 3) > 10

2x + 6 > 10

2x > 4

x > 2

Örnek:

3(x - 2) ≤ 2x + 5

3x - 6 ≤ 2x + 5

x ≤ 11

Kesirli Basit Eşitsizlikler

Paydalar sabit sayılardan oluşuyorsa eşitsizlik normal denklem mantığıyla çözülebilir.

Örnek:

x/3 + 1 > 4

x/3 > 3

x > 9

Örnek:

x/2 - 3 ≤ 5

x/2 ≤ 8

x ≤ 16

Çift Taraflı Eşitsizlikler

Bir sayı iki değer arasında bulunabilir.

Örnek:

2 < x < 7

ifadesi:

x > 2

ve

x < 7

şartlarının birlikte sağlanması anlamına gelir.

Çift taraflı eşitsizliklerde yapılan işlem üç tarafa da uygulanır.

Örnek:

3 < 2x + 1 ≤ 9

Üç taraftan 1 çıkaralım:

2 < 2x ≤ 8

Üç tarafı 2'ye bölelim:

1 < x ≤ 4

Negatif Sayıyla Çift Taraflı Eşitsizlik

Çift taraflı eşitsizlik negatif sayıyla çarpılır veya bölünürse iki eşitsizlik işareti de yön değiştirir.

Örnek:

-6 < -2x ≤ 8

Üç tarafı -2'ye bölelim:

3 > x ≥ -4

Küçükten büyüğe düzenlersek:

-4 ≤ x < 3

Çözüm Kümesini Sayı Doğrusunda Gösterme

x > 3

ifadesinde 3 çözüme dahil değildir.

Bu nedenle 3 açık nokta ile gösterilir ve sağ taraf alınır.

x ≥ 3

ifadesinde 3 çözüme dahildir.

Bu nedenle 3 kapalı nokta ile gösterilir ve sağ taraf alınır.

Benzer şekilde:

x < 3 → 3 açık, sol taraf

x ≤ 3 → 3 kapalı, sol taraf

Aralık Gösterimi

x > 3

(3, ∞)

x ≥ 3

[3, ∞)

x < 5

(-∞, 5)

x ≤ 5

(-∞, 5]

2 < x ≤ 7

(2, 7]

Sonsuzluk hiçbir zaman aralığa dahil edilmez.

Tam Sayı Çözümleri

Eşitsizliği sağlayan tam sayılar istenebilir.

Örnek:

2 < x ≤ 6

x tam sayı ise:

3, 4, 5, 6

değerlerini alır.

Toplam 4 tam sayı vardır.

Doğal Sayı Çözümleri

Doğal sayılar:

0, 1, 2, 3, ...

şeklindedir.

Örnek:

-2 < x ≤ 4

x doğal sayı ise:

0, 1, 2, 3, 4

değerlerini alır.

Doğal sayı sorularında 0 unutulmamalıdır.

Pozitif Tam Sayı Çözümleri

Pozitif tam sayılar:

1, 2, 3, ...

şeklindedir.

Örnek:

-3 < x < 5

x pozitif tam sayı ise:

1, 2, 3, 4

değerlerini alır.

Eşitsizliklerin Taraf Tarafa Toplanması

Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.

a > b

c > d

ise:

a + c > b + d

Örnek:

x > 3

y > 5

ise:

x + y > 8

Eşitsizliklerin Çıkarılması

Eşitsizlikler doğrudan taraf tarafa çıkarılamaz.

a > b

ve

c > d

verildiğinde:

a - c > b - d

sonucu her zaman doğru değildir.

Bir Sayının Karesi

Her gerçek sayı için:

x² ≥ 0

olur.

Bir gerçek sayının karesi negatif olamaz.

Ayrıca:

x² = 0

yalnızca:

x = 0

iken gerçekleşir.

Bir İfadenin İşareti

A > 0

ise A pozitiftir.

A < 0

ise A negatiftir.

A ≥ 0

ise A pozitif veya 0 olabilir.

A ≤ 0

ise A negatif veya 0 olabilir.

Basit Eşitsizlikler Kısa Özeti

• > büyüktür, < küçüktür.
• ≥ ve ≤ sınır değerini de kapsar.
• Sayı doğrusunda sağdaki sayı daha büyüktür.
• Toplama ve çıkarma işlemlerinde eşitsizlik yönü değişmez.
• Pozitif sayıyla çarpma veya bölmede yön değişmez.
• Negatif sayıyla çarpma veya bölmede yön değişir.
• Bilinmeyenin katsayısı negatifse bölme sırasında işaret ters çevrilir.
• Çift taraflı eşitsizliklerde işlem üç tarafa da uygulanır.
• < ve > durumunda sınır dahil değildir.
• ≤ ve ≥ durumunda sınır dahildir.
• Sonsuzluk hiçbir zaman aralığa dahil değildir.
• Tam sayı çözümlerinde sınır değerleri kontrol edilmelidir.
• Doğal sayı çözümlerinde 0 unutulmamalıdır.
• Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
• Eşitsizlikler doğrudan taraf tarafa çıkarılamaz.
• Her gerçek sayı için x² ≥ 0'dır.