TYT Matematik Fonksiyonlar Ders Notu

Fonksiyonlar Ders Notu

Fonksiyon, bir kümenin her elemanını başka bir kümenin yalnızca bir elemanıyla eşleyen özel bir bağıntıdır.

1. Fonksiyonun Gösterimi

A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon:

f: A → B

şeklinde gösterilir.

Bir x elemanının görüntüsü:

f(x)

şeklindedir.

Örnek:

f(x)=2x+3

f(4)=2·4+3

=11

1. Fonksiyon Olma Şartı

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

• Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır.

• Tanım kümesindeki bir elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır.

Bir eleman iki farklı elemana gidemez.

1. Tanım Kümesi

f:A→B fonksiyonunda:

A → tanım kümesi

B → değer kümesi

olarak adlandırılır.

1. Görüntü Kümesi

Tanım kümesindeki elemanların ulaştığı değerlerin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.

Görüntü kümesi, değer kümesinin tamamı olmak zorunda değildir.

Görüntü kümesi ⊆ Değer kümesi

Örnek:

A={1,2,3}

B={2,4,6,8}

f(x)=2x

ise görüntü kümesi:

{2,4,6}

olur.

1. Fonksiyon Değeri Bulma

f(a) isteniyorsa fonksiyonda x yerine a yazılır.

Örnek:

f(x)=3x−2

f(5)=3·5−2

=13

1. Fonksiyon Değeri Verildiğinde Bilinmeyen Bulma

Örnek:

f(x)=2x+5

f(a)=17

2a+5=17

2a=12

a=6

1. Tanım Kümesi – Kesirli Fonksiyonlar

Kesirli fonksiyonlarda payda sıfır olamaz.

Örnek:

f(x)=1/(x−3)

x−3 ≠ 0

x ≠ 3

Tanım kümesi:

R−{3}

1. Tanım Kümesi – Köklü Fonksiyonlar

Çift dereceli kökün içi negatif olamaz.

√A için:

A ≥ 0

Örnek:

f(x)=√(x−4)

x−4 ≥ 0

x ≥ 4

1. Kök Paydadaysa

Kök paydadaysa sıfır da olamayacağı için:

Kök içi > 0

olmalıdır.

Örnek:

f(x)=1/√(x−2)

x−2 > 0

x > 2

1. Sabit Fonksiyon

Her x değeri aynı görüntüye gidiyorsa sabit fonksiyon vardır.

f(x)=c

Örnek:

f(x)=5

ise bütün x değerleri için sonuç 5’tir.

1. Birim Fonksiyon

Her elemanı kendisine götüren fonksiyondur.

f(x)=x

Örnek:

f(7)=7

f(−3)=−3

1. Doğrusal Fonksiyon

Genel biçimi:

f(x)=ax+b

şeklindedir.

Örnek:

f(x)=2x−5

1. Bire Bir Fonksiyon

Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

x₁ ≠ x₂ ise:

f(x₁) ≠ f(x₂)

Örnek:

f(x)=2x+1

gerçek sayılarda bire birdir.

1. Bire Bir Olmayan Fonksiyon

Farklı elemanlar aynı görüntüye gidiyorsa fonksiyon bire bir değildir.

Örnek:

f(x)=x²

f(2)=4

f(−2)=4

Bu nedenle gerçek sayılarda bire bir değildir.

1. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşitse fonksiyon örtendir.

Yani değer kümesindeki her elemanın en az bir karşılığı vardır.

1. İçine Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesinin tamamını kapsamıyorsa içine fonksiyon denir.

1. Fonksiyon Sayısı

s(A)=m

s(B)=n

ise A’dan B’ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı:

nᵐ

Örnek:

s(A)=3

s(B)=2

Fonksiyon sayısı:

2³=8

1. Bire Bir Fonksiyon Sayısı

A kümesinin m,

B kümesinin n elemanı varsa ve m≤n ise:

Bire bir fonksiyon sayısı:

n·(n−1)·(n−2)·...

şeklinde m çarpanla bulunur.

Örnek:

3 elemanlı A’dan 5 elemanlı B’ye:

5·4·3=60

1. Fonksiyonlarda Toplama

(f+g)(x)

= f(x)+g(x)

Örnek:

f(x)=2x

g(x)=x+3

(f+g)(x)=3x+3

1. Fonksiyonlarda Çıkarma

(f−g)(x)

= f(x)−g(x)

1. Fonksiyonlarda Çarpma

(f·g)(x)

= f(x)·g(x)

1. Fonksiyonlarda Bölme

(f/g)(x)

= f(x)/g(x)

Ancak:

g(x) ≠ 0

olmalıdır.

1. Bileşke Fonksiyon

Bir fonksiyonun çıktısının başka bir fonksiyona girdi olarak verilmesine bileşke denir.

(f∘g)(x)

= f(g(x))

Bileşkede işlem sağdan sola yapılır.

Örnek:

f(x)=2x+1

g(x)=x−3

(f∘g)(x)

=f(x−3)

=2(x−3)+1

=2x−5

1. g∘f Bileşkesi

Aynı fonksiyonlarda:

(g∘f)(x)

=g(2x+1)

=2x−2

Genellikle:

f∘g ≠ g∘f

1. Bileşkede Sayısal Değer

Örnek:

f(x)=x²

g(x)=x+1

(f∘g)(2)

Önce:

g(2)=3

Sonra:

f(3)=9

1. Birim Fonksiyon ile Bileşke

I(x)=x olmak üzere:

f∘I=f

I∘f=f

1. Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun yaptığı eşlemeyi tersine çeviren fonksiyona ters fonksiyon denir.

f⁻¹(x)

ile gösterilir.

Ters fonksiyonun var olabilmesi için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.

1. Ters Fonksiyon Bulma

Ters fonksiyon bulurken:

1. f(x) yerine y yazılır.

1. x ile y yer değiştirilir.

1. y yalnız bırakılır.

1. y yerine f⁻¹(x) yazılır.

Örnek:

f(x)=2x+3

y=2x+3

x=2y+3

x−3=2y

y=(x−3)/2

Sonuç:

f⁻¹(x)=(x−3)/2

1. Ters Fonksiyon Kontrolü

f ve f⁻¹ için:

f(f⁻¹(x))=x

f⁻¹(f(x))=x

olmalıdır.

1. f⁻¹(x) ile 1/f(x)

Bu iki ifade aynı değildir.

f⁻¹(x):

Fonksiyonun tersi

1/f(x):

Fonksiyon değerinin çarpmaya göre tersi

1. Fonksiyon Grafiği

Bir grafik fonksiyon belirtiyorsa aynı x değerine iki farklı y değeri karşılık gelemez.

Düşey doğru testi:

Grafiği herhangi bir düşey doğru birden fazla noktada kesiyorsa grafik fonksiyon değildir.

1. Fonksiyonun Sıfırı

f(x)=0

eşitliğini sağlayan x değerleri fonksiyonun sıfırlarıdır.

Örnek:

f(x)=2x−6

2x−6=0

x=3

1. Parçalı Fonksiyon

Fonksiyon farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanabilir.

Örnek:

f(x)=

x+1, x≥0

−x, x<0

ise:

f(3)=4

f(−2)=2

1. Fonksiyon İçinde Fonksiyon

Örnek:

f(x)=2x+1

f(f(2))=?

Önce:

f(2)=5

Sonra:

f(5)=11

1. f(x+a) Tipi Sorular

Örnek:

f(x+1)=2x+5

f(4) soruluyor.

x+1=4

x=3

f(4)=2·3+5

=11

Sık Karıştırılan Noktalar

• Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü olmak zorundadır.

• Bir eleman iki farklı görüntüye gidemez.

• Görüntü kümesi ile değer kümesi aynı olmak zorunda değildir.

• Payda sıfır olamaz.

• Çift dereceli kökün içi negatif olamaz.

• f∘g işleminde önce g uygulanır.

• Genellikle f∘g ile g∘f aynı değildir.

• f⁻¹(x) ile 1/f(x) aynı değildir.

• Ters fonksiyon için bire bir ve örten olma şartı önemlidir.

• Parçalı fonksiyonda önce x’in hangi aralığa ait olduğu belirlenir.

Fonksiyonlar Kısa Özeti

Fonksiyon:

f:A→B

Görüntü:

f(x)

Fonksiyon olma şartı:

Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü vardır.

Sabit fonksiyon:

f(x)=c

Birim fonksiyon:

f(x)=x

Fonksiyon sayısı:

s(A)=m

s(B)=n

ise:

nᵐ

Toplama:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Bileşke:

(f∘g)(x)=f(g(x))

Ters fonksiyon:

f⁻¹(x)

Ters kontrolü:

f(f⁻¹(x))=x

Tanım kümesinde:

Payda ≠ 0

Çift dereceli kök içi ≥ 0

Fonksiyonun sıfırı:

f(x)=0