TYT Matematik Mantık Konu Anlatımı

Mantık

Mantık, önermelerin doğruluk değerlerini ve önermeler arasındaki ilişkileri inceler. TYT’de Mantık sorularında temel amaç; önermeyi doğru okumak, bağlaçların anlamını bilmek ve doğruluk tablolarını doğru yorumlamaktır.

1. Önerme Olmayan Cümleler

Soru, emir, dilek ve doğruluğu kişiye göre değişen cümleler önerme değildir.

1. Önermelerin Gösterimi

Önermeler genellikle:

p, q, r

gibi küçük harflerle gösterilir.

1. Değilleme

Bir önermenin olumsuzuna değili denir.

p önermesinin değili:

¬p

veya bazı kaynaklarda:

p'

şeklinde gösterilebilir.

1. Ve Bağlacı

p ve q:

p ∧ q

şeklinde gösterilir.

Doğruluk tablosu:

p | q | p ∧ q 1 | 1 | 1 1 | 0 | 0 0 | 1 | 0 0 | 0 | 0

1. Veya Bağlacı

p veya q:

p ∨ q

şeklinde gösterilir.

Doğruluk tablosu:

p | q | p ∨ q 1 | 1 | 1 1 | 0 | 1 0 | 1 | 1 0 | 0 | 0

1. Ya Da Bağlacı

p ya da q ifadesi, yalnızca önermelerden biri doğruysa doğrudur.

Bu bağlaç:

p ⊻ q

şeklinde gösterilebilir.

Doğruluk tablosu:

p | q | p ⊻ q 1 | 1 | 0 1 | 0 | 1 0 | 1 | 1 0 | 0 | 0

1. Koşullu Önerme

“p ise q”:

p ⇒ q

şeklinde gösterilir.

Doğruluk tablosu:

p | q | p ⇒ q 1 | 1 | 1 1 | 0 | 0 0 | 1 | 1 0 | 0 | 1

1. Koşullu Önermenin Sözel İfadeleri

p ⇒ q ifadesi şu biçimlerde okunabilir:

p ise q

p, q için yeterlidir

q, p için gereklidir

p olması q’yu gerektirir

1. Karşıtı

p ⇒ q önermesinin karşıtı:

¬p ⇒ ¬q

şeklindedir.

1. Tersi

p ⇒ q önermesinin tersi:

q ⇒ p

şeklindedir.

1. Karşıt Tersi

p ⇒ q önermesinin karşıt tersi:

¬q ⇒ ¬p

şeklindedir.

1. İki Yönlü Koşullu Önerme

“p ancak ve ancak q”:

p ⇔ q

şeklinde gösterilir.

Doğruluk tablosu:

p | q | p ⇔ q 1 | 1 | 1 1 | 0 | 0 0 | 1 | 0 0 | 0 | 1

1. Ancak ve Ancak İfadesi

p ⇔ q ifadesi:

p ⇒ q

ve

q ⇒ p

önermelerinin birlikte doğru olması anlamına gelir.

Yani:

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

1. Bileşik Önermeler

Birden fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle bileşik önerme oluşur.

1. Doğruluk Tablosunda Satır Sayısı

n tane farklı önerme varsa doğruluk tablosunda:

2ⁿ

satır bulunur.

1. De Morgan Kuralları

1. Çift Değilleme

¬(¬p) ≡ p

1. Bazı Temel Denklikler

1. Zıt Önermeler

Bir önerme ile değili aynı anda doğru olamaz.

p ∧ ¬p ≡ 0

Bu ifade her zaman yanlıştır.

1. Her Zaman Doğru İfade

p ∨ ¬p ≡ 1

Bu ifade her zaman doğrudur.

1. Totoloji

Her durumda doğru olan bileşik önermeye totoloji denir.

1. Çelişki

Her durumda yanlış olan bileşik önermeye çelişki denir.

1. Denk Önermeler

Her durumda aynı doğruluk değerini alan önermeler denktir.

Denkliği:

≡

işaretiyle gösterebiliriz.

1. Koşullu Önermenin Değili

p ⇒ q ifadesinin değili:

¬(p ⇒ q)

olur.

Bunun denk biçimi:

p ∧ ¬q

şeklindedir.

1. İki Yönlü Koşulun Değili

p ⇔ q yanlış olduğunda p ve q farklı doğruluk değerlerindedir.

Bu nedenle:

¬(p ⇔ q)

ifadesi “p ile q’nun doğruluk değerleri farklıdır” anlamına gelir.

1. Niceleyicilere Giriş

“Her” ifadesi:

∀

ile gösterilebilir.

“En az bir” ifadesi:

∃

ile gösterilebilir.

1. Her Niceleyicisinin Değili

“Her x için P(x)” ifadesinin değili:

“En az bir x için P(x) doğru değildir.”

şeklindedir.

1. En Az Bir Niceleyicisinin Değili

“En az bir x için P(x)” ifadesinin değili:

“Her x için P(x) yanlış.”

şeklindedir.

1. Sözel İfadeyi Mantıksal İfadeye Çevirme

1. Doğruluk Tablosu Oluşturma

Bir bileşik önerme için:

1. Farklı önermeleri belirle.
2. 2ⁿ satır oluştur.
3. Basit ifadelerin doğruluk değerlerini yaz.
4. İç parantezlerden başlayarak işle.
5. Son sütunu bul.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Her cümle önerme değildir.

1. “Veya” ile “ya da” aynı değildir.

1. p ⇒ q yalnızca p=1, q=0 durumunda yanlıştır.

1. p ⇔ q aynı doğruluk değerlerinde doğrudur.

1. p ⇒ q ile q ⇒ p aynı önerme değildir.

1. p ⇒ q ile ¬q ⇒ ¬p denktir.

1. De Morgan uygulanırken hem önermeler değillenir hem bağlaç değişir.

1. p ∨ ¬p her zaman doğrudur.

1. p ∧ ¬p her zaman yanlıştır.

1. n önermeli doğruluk tablosunda 2ⁿ satır vardır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önermeleri p, q, r şeklinde belirle.

1. Bağlaçları doğru sembole çevir.

1. Değil işaretinin hangi ifadeyi etkilediğine dikkat et.

1. Parantez içinden başlayarak ilerle.

1. Koşullu önermede yalnızca 1 ⇒ 0 durumunun yanlış olduğunu hatırla.

1. İki yönlü koşulda doğruluk değerlerinin aynı olup olmadığına bak.

1. De Morgan sorularında bağlacı değiştir.

1. Doğruluk tablosunda önce satır sayısını belirle.

Konu Özeti

Önerme:

Doğru veya yanlış olduğu kesin olarak belirlenebilen cümle.

Doğru → 1

Yanlış → 0

Değil:

¬p

Ve:

p ∧ q

Sadece 1,1 durumunda doğru.

Veya:

p ∨ q

Sadece 0,0 durumunda yanlış.

Koşullu:

p ⇒ q

Sadece 1 ⇒ 0 durumunda yanlış.

İki yönlü koşul:

p ⇔ q

Doğruluk değerleri aynıysa doğru.

De Morgan:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Koşullu önerme:

p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q

Karşıt tersi:

p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p

Doğruluk tablosu satır sayısı:

2ⁿ