TYT Matematik Sayma ve Olasılık Ders Notu

Sayma ve Olasılık Ders Notu

Sayma ve Olasılık konusu; bir işlemin kaç farklı şekilde yapılabileceğini, nesnelerin kaç farklı biçimde sıralanabileceğini veya seçilebileceğini ve bir olayın gerçekleşme ihtimalini inceler.

1. Toplama Yoluyla Sayma

Bir işlem birbirinden bağımsız farklı yollardan yapılabiliyorsa seçenek sayıları toplanır.

Örnek:

Bir yere 3 farklı otobüs veya 2 farklı minibüs ile gidilebiliyorsa:

3+2=5

farklı seçenek vardır.

1. Çarpma Yoluyla Sayma

Bir işlem birden fazla aşamadan oluşuyorsa her aşamadaki seçenek sayıları çarpılır.

Örnek:

4 gömlek ve 3 pantolon arasından seçim yapılacaksa:

4·3=12

farklı kombinasyon vardır.

1. Temel Sayma Prensibi

Bir işlem sırasıyla:

n₁, n₂, n₃

farklı şekilde yapılabiliyorsa toplam durum sayısı:

n₁·n₂·n₃

olur.

1. Faktöriyel

n pozitif tam sayı olmak üzere:

n!=n·(n−1)·(n−2)·...·2·1

Örnek:

5!

=5·4·3·2·1

=120

Özel durumlar:

0!=1

1!=1

1. Faktöriyel Sadeleştirme

Örnek:

8!/6!

=8·7·6!/6!

=56

Büyük faktöriyel, küçük faktöriyeli içerecek kadar açılır.

1. Permütasyon

n farklı elemandan r tanesinin seçilip sıralanmasına permütasyon denir.

P(n,r)=n!/(n−r)!

Örnek:

5 kişiden başkan ve başkan yardımcısı seçilecekse:

P(5,2)

=5·4

=20

1. Permütasyonda Sıra

Permütasyonda sıra önemlidir.

AB ile BA farklı sıralamalardır.

1. Tüm Elemanların Sıralanması

n farklı elemanın tamamı:

n!

farklı şekilde sıralanabilir.

Örnek:

5 farklı kitap:

5!=120

farklı şekilde dizilebilir.

1. Yan Yana Olma

Birlikte durması gereken elemanlar tek blok kabul edilir.

Örnek:

5 kişi sıraya dizilecek ve A ile B yan yana olacaksa:

A ve B bir blok kabul edilir.

4!·2!

=48

farklı sıralama vardır.

1. Yan Yana Olmama

Genellikle:

Tüm durum − Yan yana durum

kullanılır.

Örnek:

5 kişinin toplam sıralanması:

5!=120

A ile B yan yana:

4!·2!=48

Yan yana olmayan:

120−48=72

1. Tekrarlı Permütasyon

Aynı elemanların bulunduğu sıralamalarda:

n!/(a!·b!·c!...)

formülü kullanılır.

Örnek:

ANNE kelimesinde:

4!/2!

=12

farklı sıralama vardır.

1. Kombinasyon

n elemandan r tanesinin sıra önemsenmeden seçilmesine kombinasyon denir.

C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]

Örnek:

5 kişiden 2 kişi seçilecekse:

C(5,2)=10

1. Kombinasyonda Sıra

Kombinasyonda sıra önemli değildir.

AB seçimi ile BA seçimi aynı seçimdir.

1. Permütasyon – Kombinasyon Ayrımı

Sıra önemliyse:

Permütasyon

Sıra önemli değilse:

Kombinasyon

Örnek:

10 kişiden başkan ve başkan yardımcısı:

P(10,2)

10 kişiden 2 kişilik ekip:

C(10,2)

1. Permütasyon ve Kombinasyon İlişkisi

P(n,r)=C(n,r)·r!

1. Kombinasyon Özellikleri

C(n,0)=1

C(n,n)=1

C(n,1)=n

C(n,r)=C(n,n−r)

Örnek:

C(8,2)=C(8,6)

1. Belirli Bir Kişinin Kesin Seçilmesi

Kesin seçilecek kişi önce gruba alınır.

Örnek:

8 kişiden 3 kişi seçilecek ve Ali kesin seçilecekse:

Kalan 2 kişi:

C(7,2)=21

farklı şekilde seçilir.

1. Belirli Bir Kişinin Seçilmemesi

Seçilmeyecek kişi gruptan çıkarılır.

Örnek:

8 kişiden 3 kişi seçilecek ve Ali seçilmeyecekse:

C(7,3)=35

1. En Az Bir

“En az bir” sorularında çoğu zaman:

Tüm durum − Hiçbiri

yöntemi daha kolaydır.

1. Rakamlarla Sayı Oluşturma

Rakamlarla sayı oluştururken:

• İlk basamak 0 olamaz. • Rakam tekrarına izin verilip verilmediği kontrol edilir. • Tek veya çift sayı şartında son basamağa dikkat edilir.

Örnek:

1,2,3,4 rakamlarıyla rakamları farklı 3 basamaklı sayı:

4·3·2=24

1. Sıfır İçeren Sayı Oluşturma

0 ilk basamak olamaz.

Örnek:

0,1,2,3 rakamlarıyla rakamları farklı 3 basamaklı sayı:

İlk basamak:

3 seçenek

İkinci basamak:

3 seçenek

Son basamak:

2 seçenek

Toplam:

3·3·2=18

1. Çift Sayı Oluşturma

Bir sayının çift olması için son basamak:

0,2,4,6,8

rakamlarından biri olmalıdır.

1. Olasılık

Eş olasılıklı durumlarda:

P(A)=İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı

1. Olasılık Değer Aralığı

Her olay için:

0≤P(A)≤1

P(A)=0:

İmkânsız olay

P(A)=1:

Kesin olay

1. Örnek Uzay

Bir deneyde gerçekleşebilecek bütün sonuçların kümesine örnek uzay denir.

Örnek:

Bir para atıldığında:

S={Yazı,Tura}

1. Zar Olasılığı

Bir zarın örnek uzayı:

{1,2,3,4,5,6}

Örnek:

Çift sayı gelme olasılığı:

3/6

=1/2

1. Madeni Para

Bir para:

1 kez atılırsa → 2 sonuç

2 kez atılırsa → 2²=4 sonuç

3 kez atılırsa → 2³=8 sonuç

1. Tümleyen Olasılığı

A olayının gerçekleşmeme olasılığı:

P(A')=1−P(A)

1. En Az Bir Olasılığı

Örnek:

Bir para 3 kez atılıyor.

En az bir yazı gelme olasılığı:

1−P(hiç yazı gelmemesi)

=1−1/8

=7/8

1. Ayrık Olaylar

Aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık olay denir.

A ve B ayrık ise:

P(A∪B)=P(A)+P(B)

1. Genel Birleşim Olasılığı

P(A∪B)

=P(A)+P(B)−P(A∩B)

1. Bağımsız Olaylar

Bir olayın sonucu diğerini etkilemiyorsa olaylar bağımsızdır.

Bağımsız olaylarda:

P(A∩B)=P(A)·P(B)

Örnek:

Bir para ve bir zar atılıyor.

Paranın yazı ve zarın 6 gelme olasılığı:

1/2·1/6

=1/12

1. Geri Koymalı Seçim

Seçilen nesne geri konursa toplam nesne sayısı değişmez.

Örnek:

3 kırmızı, 2 mavi top bulunan torbadan iki kez seçim yapılıyor ve top geri konuyor.

İkisinin de kırmızı olması:

3/5·3/5

=9/25

1. Geri Koymasız Seçim

Seçilen nesne geri konmazsa ikinci seçimde toplam sayı azalır.

Örnek:

3 kırmızı, 2 mavi top bulunan torbadan geri koymadan iki top seçiliyor.

İkisinin de kırmızı olması:

3/5·2/4

=3/10

1. Kombinasyon ile Olasılık

Birden fazla nesne aynı anda seçiliyorsa kombinasyon kullanılabilir.

Örnek:

5 kırmızı, 3 mavi top arasından 2 top seçiliyor.

İkisinin de kırmızı olması:

C(5,2)/C(8,2)

=10/28

=5/14

1. Tam Olarak

Örnek:

Bir para 3 kez atılıyor.

Tam 2 kez yazı gelme durumu:

C(3,2)=3

Toplam durum:

2³=8

Olasılık:

3/8

1. En Az – En Fazla

En az 2:

2 veya daha fazla

En fazla 2:

0, 1 veya 2

şeklinde yorumlanır.

1. Olasılıkta Sayma

Olasılık sorularında önce:

Tüm durum sayısı

ve:

İstenen durum sayısı

bulunur.

Gerekirse permütasyon veya kombinasyon kullanılır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• 0!=1’dir.

• Permütasyonda sıra önemlidir.

• Kombinasyonda sıra önemli değildir.

• P(n,r)=C(n,r)·r! bağıntısı vardır.

• Sayı oluştururken ilk basamak 0 olamaz.

• Çift sayı oluştururken son basamağa dikkat edilir.

• Olasılık 0 ile 1 arasındadır.

• P(A')=1−P(A)

• Ayrık olay ile bağımsız olay aynı değildir.

• Geri koymadan seçimde olasılıklar değişir.

• En az bir sorularında tümleyen yöntemi çoğu zaman daha hızlıdır.

Sayma ve Olasılık Kısa Özeti

Faktöriyel:

n!=n·(n−1)·...·1

0!=1

Permütasyon:

P(n,r)=n!/(n−r)!

Tam sıralama:

n!

Tekrarlı permütasyon:

n!/(a!·b!·...)

Kombinasyon:

C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]

Kombinasyon özelliği:

C(n,r)=C(n,n−r)

Permütasyon-kombinasyon ilişkisi:

P(n,r)=C(n,r)·r!

Olasılık:

P(A)=İstenen/Tüm

Tümleyen:

P(A')=1−P(A)

Birleşim:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Bağımsız olay:

P(A∩B)=P(A)·P(B)