TYT Matematik Sayma ve Olasılık Konu Anlatımı

Sayma ve Olasılık

Sayma ve Olasılık konusu; bir işlemin kaç farklı şekilde yapılabileceğini, nesnelerin kaç farklı biçimde sıralanabileceğini veya seçilebileceğini ve bir olayın gerçekleşme ihtimalini inceler.

TYT’de temel sayma prensibi, faktöriyel, permütasyon, kombinasyon ve basit olasılık soruları öne çıkar.

1. Toplama Yoluyla Sayma

Bir işlem birbirinden bağımsız farklı yollardan yapılabiliyorsa, seçenek sayıları toplanır.

1. Çarpma Yoluyla Sayma

Bir işlem ardışık aşamalardan oluşuyorsa her aşamadaki seçenek sayıları çarpılır.

1. Temel Sayma Prensibi

Bir iş:

n₁ farklı şekilde,

ardından n₂ farklı şekilde,

ardından n₃ farklı şekilde

yapılabiliyorsa toplam durum sayısı:

n₁·n₂·n₃

olur.

1. Faktöriyel

Pozitif bir n tam sayısı için:

n! = n·(n−1)·(n−2)·...·2·1

şeklinde tanımlanır.

1. Faktöriyel Açma

Faktöriyel ifadeler sadeleştirilirken büyük olan faktöriyel küçük olana kadar açılır.

1. Faktöriyelde Denklem

1. Permütasyon

n farklı elemanın r tanesinin seçilip sıralanmasına permütasyon denir.

1. Permütasyonda Sıra Önemlidir

Permütasyonda seçilen elemanların hangi sırada bulunduğu önemlidir.

1. n Elemanın Tamamını Sıralama

n farklı elemanın tamamının sıralanma sayısı:

n!

dir.

1. Yan Yana Olma Soruları

Birlikte durması gereken elemanlar tek bir blok gibi düşünülür.

1. Yan Yana Olmama Soruları

Genellikle:

Tüm durumlar − Yan yana oldukları durumlar

kullanılır.

1. Tekrarlı Permütasyon

Bazı elemanların aynı olduğu sıralamalarda:

formülü kullanılır.

Burada:

n → toplam eleman sayısı

a, b, c → tekrar eden eleman sayılarıdır.

1. Kombinasyon

n elemandan r tanesinin sıra önemsenmeden seçilmesine kombinasyon denir.

1. Kombinasyonda Sıra Önemsizdir

1. Permütasyon ile Kombinasyon İlişkisi

Çünkü önce r eleman seçilir, sonra kendi aralarında sıralanır.

1. Kombinasyonun Temel Özellikleri

1. Grup Seçme Soruları

1. Belirli Bir Kişinin Kesin Seçilmesi

Kesin seçilecek kişi önce gruba alınır.

Kalan kişiler diğerleri arasından seçilir.

1. Belirli Bir Kişinin Seçilmemesi

Seçilmeyecek kişi gruptan çıkarılır.

1. En Az Bir Kişinin Seçilmesi

“En az bir” sorularında çoğu zaman tüm durumdan hiç seçilmeyen durum çıkarılır.

1. Sayı Oluşturma Soruları

Rakamlarla sayı oluşturulurken:

• İlk basamak 0 olamaz. • Tekrara izin verilip verilmediğine dikkat edilir. • Tek/çift sayı şartında son basamak önemlidir.

1. Sıfır İçeren Sayı Oluşturma

1. Çift Sayı Oluşturma

Bir sayının çift olması için son basamağı:

0,2,4,6,8

rakamlarından biri olmalıdır.

1. Olasılık Kavramı

Bir olayın gerçekleşme ihtimaline olasılık denir.

Eş olasılıklı durumlarda:

1. Olasılığın Değer Aralığı

Her olay için:

P(A)=0 → imkânsız olay

P(A)=1 → kesin olay

1. Örnek Uzay

Bir deneyin bütün olası sonuçlarının oluşturduğu kümeye örnek uzay denir.

Genellikle:

E

veya:

S

ile gösterilir.

1. Zar Atma Olasılığı

Standart bir zarın örnek uzayı:

{1,2,3,4,5,6}

dır.

1. Madeni Para Olasılığı

Bir para bir kez atılırsa:

2

olası sonuç vardır.

İki kez atılırsa:

2²=4

olası sonuç vardır.

Üç kez atılırsa:

2³=8

olası sonuç vardır.

1. Bir Olayın Tümleyeni

A olayının gerçekleşmeme olasılığı:

P(A')

şeklinde gösterilir.

1. En Az Bir Olayı

1. Ayrık Olaylar

Aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık olay denir.

A ve B ayrık ise:

1. Genel Birleşim Olasılığı

A ve B olayları için:

1. Bağımsız Olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğer olayın olasılığını etkilemiyorsa olaylar bağımsızdır.

Bağımsız A ve B olayları için:

1. Ardışık Seçim – Geri Koymalı

Seçilen nesne geri konuyorsa toplam eleman sayısı değişmez.

1. Ardışık Seçim – Geri Koymasız

Seçilen nesne geri konmuyorsa ikinci seçimde toplam eleman sayısı azalır.

1. Kombinasyon ile Olasılık

Birden fazla nesne aynı anda seçiliyorsa kombinasyon yöntemi kullanılabilir.

1. Tam Olarak Soruları

“Tam olarak 2 tanesi” gibi sorularda istenen durum dikkatle oluşturulur.

1. En Fazla – En Az İfadeleri

En az 2:

2 veya daha fazla

En fazla 2:

0, 1 veya 2

1. Olasılıkta Sayma Yöntemleri

Olasılık sorularında:

İstenen durumların sayısı

ve:

Tüm durumların sayısı

permütasyon veya kombinasyonla hesaplanabilir.

1. Permütasyon mu Kombinasyon mu?

Sık Karıştırılan Noktalar

1. 0!=1’dir.

1. Permütasyonda sıra önemlidir.

1. Kombinasyonda sıra önemli değildir.

1. P(n,r)=C(n,r)·r! bağıntısı vardır.

1. Sayı oluştururken ilk basamak 0 olamaz.

1. Çift sayı oluştururken son basamak çift olmalıdır.

1. Olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır.

1. Tümleyen olasılığı 1−P(A)’dır.

1. Ayrık olay ile bağımsız olay aynı şey değildir.

1. Geri koymadan seçimde olasılıklar değişir.

1. “En az bir” sorularında tümleyen çoğu zaman daha kısadır.

1. Olasılıkta istenen ve tüm durumlar aynı sayma mantığıyla oluşturulmalıdır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Soruda sıra önemli mi kontrol et.

1. Birden fazla aşama varsa seçenek sayılarını çarp.

1. Alternatif durumlar varsa uygun durum sayılarını topla.

1. Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme yapmadan önce ortak faktöriyeli gör.

1. Permütasyon ve kombinasyonu birbirine karıştırma.

1. Olasılıkta önce örnek uzayı belirle.

1. “En az bir” varsa tümleyen yöntemini kontrol et.

1. Geri koymalı ve geri koymasız seçim ayrımına dikkat et.

Konu Özeti

Faktöriyel:

n!=n·(n−1)·...·1

0!=1

Permütasyon:

P(n,r)=n!/(n−r)!

Tam sıralama:

n!

Tekrarlı permütasyon:

n!/(a!·b!·...)

Kombinasyon:

C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]

Özellik:

C(n,r)=C(n,n−r)

Permütasyon-kombinasyon ilişkisi:

P(n,r)=C(n,r)·r!

Olasılık:

P(A)=İstenen durum / Tüm durum

Tümleyen:

P(A')=1−P(A)

Birleşim:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Bağımsız olaylar:

P(A∩B)=P(A)·P(B)