TYT Matematik Temel Kavramlar Ders Notu

Sayı ve Rakam Rakam, sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. Onluk sayı sistemindeki rakamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Sayı, bir veya birden fazla rakamın kullanılmasıyla oluşturulan matematiksel ifadedir. Örnek:

• 7 hem sayı hem rakamdır.
• 42 sayıdır ancak rakam değildir.
• 305 sayısı 3, 0 ve 5 rakamlarından oluşur.

Sayı Kümeleri Doğal Sayılar Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

şeklinde gösterilir. 0 doğal sayıdır. Tam Sayılar Negatif tam sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları kapsar. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Doğal sayıların tamamı aynı zamanda tam sayıdır. N ⊂ Z

Rasyonel Sayılar a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere: a / b

biçiminde yazılabilen sayılardır. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. Örnek: 1/2 -4/3 5 0 0,25

Tam sayılar da rasyonel sayıdır. Çünkü örneğin: 5 = 5/1

şeklinde yazılabilir. İrrasyonel Sayılar İki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılardır. Örnek: √2 √3 π

Gerçek Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamını kapsar. Temel kapsama ilişkisi: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Pozitif ve Negatif Sayılar Sıfırdan büyük sayılar pozitif, sıfırdan küçük sayılar negatif sayılardır. 0 ise ne pozitif ne negatiftir. Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayılar büyür. Örnek: -7 < -2 < 0 < 4 < 9

Negatif sayılarda mutlak değeri daha büyük olan sayı daha küçüktür. -10 < -3

İşaret Kuralları Çarpma ve bölmede: (+) × (+) = + (-) × (-) = + (+) × (-) = - (-) × (+) = -

Aynı işaretlerin çarpımı veya bölümü pozitiftir. Farklı işaretlerin çarpımı veya bölümü negatiftir. Tek ve Çift Sayılar 2 ile tam bölünebilen tam sayılar çift, bölünemeyen tam sayılar tek sayıdır. Çift sayı: 2n

Tek sayı: 2n + 1

biçiminde gösterilebilir. Burada n herhangi bir tam sayıdır. 0 çift sayıdır. Toplama ve Çıkarma Çift + Çift = Çift Tek + Tek = Çift Tek + Çift = Tek

Çıkarma işleminde de aynı tek-çift mantığı geçerlidir. Çarpma Tek × Tek = Tek Çift × Tek = Çift Çift × Çift = Çift

Bir çarpımda en az bir çift çarpan bulunuyorsa sonuç çifttir. Ardışık Sayılar Birbirini belirli bir düzende takip eden sayılara ardışık sayılar denir. Ardışık Tam Sayılar n, n+1, n+2, n+3, ...

Ardışık Çift Sayılar 2n, 2n+2, 2n+4, ...

Ardışık Tek Sayılar 2n+1, 2n+3, 2n+5, ...

Ardışık tam sayılar arasındaki fark 1, ardışık tek veya çift sayılar arasındaki fark 2'dir. Ardışık Sayıların Toplamı Bir aritmetik dizide ilk ve son terimin ortalaması: Ortalama = (İlk terim + Son terim) / 2

Toplam: Toplam = Terim sayısı × Ortalama

şeklinde hesaplanabilir. Örnek: 8 + 9 + 10 + 11 + 12

Ortalama: (8 + 12) / 2 = 10

Terim sayısı 5 olduğuna göre: Toplam = 5 × 10 = 50

Sayma Sayıları Nesneleri sayarken kullanılan: 1, 2, 3, 4, ...

sayılarına sayma sayıları denir. Doğal sayılardan farkı, sayma sayılarında 0 bulunmamasıdır. Sayma sayıları = {1, 2, 3, ...}

Doğal sayılar = {0, 1, 2, 3, ...}

İşlem Önceliği Bir matematiksel ifadede işlemler belirli sırayla yapılır. Genel işlem sırası:

1. Parantezler
2. Üslü ifadeler
3. Çarpma ve bölme
4. Toplama ve çıkarma

Aynı önceliğe sahip işlemler soldan sağa yapılır. Örnek: 8 + 3 × 4

Önce çarpma yapılır: 3 × 4 = 12

Daha sonra: 8 + 12 = 20

Çarpma ve bölme kendi aralarında aynı önceliğe sahiptir. Örneğin: 24 ÷ 6 × 2

soldan sağa uygulanır: 24 ÷ 6 = 4 4 × 2 = 8

Sıfırın Özellikleri Toplama işleminde: a + 0 = a

Bu nedenle 0, toplamanın etkisiz elemanıdır. Çarpmada: a × 0 = 0

Sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü: 0 / a = 0

olur. Ancak: a / 0

tanımsızdır. Bir ve Etkisiz Eleman Çarpma işleminde: a × 1 = a

olduğundan 1, çarpmanın etkisiz elemanıdır. Toplama işleminde: a + 0 = a

olduğundan 0, toplamanın etkisiz elemanıdır. Temel İşlem Özellikleri Değişme Özelliği Toplama ve çarpmada sayıların sırası değiştirilebilir. a + b = b + a a × b = b × a

Çıkarma ve bölmede genel olarak değişme özelliği yoktur. Birleşme Özelliği Toplama: (a + b) + c = a + (b + c)

Çarpma: (a × b) × c = a × (b × c)

işlemlerinde birleşme özelliği vardır. Dağılma Özelliği Çarpma işlemi toplama ve çıkarma üzerine dağılır. a(b + c) = ab + ac

a(b - c) = ab - ac

Örnek: 7 × 19

işlemi: 7 × (20 - 1)

şeklinde yazılabilir. 140 - 7 = 133

Sayıların Cebirsel Gösterimi Sorularda sayıların harflerle gösterilmesi işlemleri kolaylaştırır. Herhangi bir tam sayı: n

Çift sayı: 2n

Tek sayı: 2n + 1

Ardışık iki tam sayı: n, n+1

Ardışık üç tam sayı: n-1, n, n+1

Ardışık iki çift sayı: 2n, 2n+2

Ardışık iki tek sayı: 2n+1, 2n+3

Bilinmeyenlerle İşlem Bilinmeyen bir sayı genellikle x gibi bir değişkenle ifade edilir. Örnek: Bir sayının 5 fazlası 18 ise: x + 5 = 18

Buradan: x = 13

bulunur. Bir sayının 3 katının 4 fazlası 25 ise: 3x + 4 = 25 3x = 21 x = 7

olur. Temel Kavramlar Kısa Özeti

• Rakamlar 0 ile 9 arasındadır.
• Her rakam bir sayıdır fakat her sayı rakam değildir.
• 0 doğal sayıdır.
• 0 ne pozitif ne negatiftir.
• 0 çift sayıdır.
• Doğal sayılar tam sayıların alt kümesidir.
• Tam sayılar rasyonel sayıların alt kümesidir.
• Tek sayılar 2n+1, çift sayılar 2n biçiminde gösterilebilir.
• Ardışık tam sayılar arasındaki fark 1'dir.
• Ardışık tek ve çift sayılar arasındaki fark 2'dir.
• İşlem önceliğinde parantez ve üslerden sonra çarpma-bölme gelir.
• Çarpma ve bölme kendi aralarında eşit önceliklidir.
• Bir sayı sıfıra bölünemez.
• 0 toplamanın, 1 çarpmanın etkisiz elemanıdır.
• Toplama ve çarpmada değişme ve birleşme özellikleri vardır.
• Çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.