TYT Matematik Çarpanlara Ayırma Ders Notu

Çarpanlara Ayırma Ders Notu

Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi çarpım biçiminde yazma işlemidir. Sadeleştirme, denklem çözme ve cebirsel işlemlerde sık kullanılır.

1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Terimlerin tamamında ortak olan sayı veya cebirsel ifade parantez dışına alınır.

ab + ac = a(b + c)

Örnek:

6x + 12

= 6(x + 2)

Örnek:

x² + 4x

= x(x + 4)

1. Sayı ve Değişkenlerde Ortak Çarpan

Sayıların EBOB'u ve değişkenlerin ortak en küçük kuvvetleri alınır.

Örnek:

12x³y² + 18x²y³

= 6x²y²(2x + 3y)

1. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

Terimler uygun biçimde gruplanarak ortak parantez oluşturulur.

Örnek:

ax + ay + bx + by

= a(x + y) + b(x + y)

= (a + b)(x + y)

1. İki Kare Farkı

Temel özdeşlik:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Örnek:

x² − 25

= x² − 5²

= (x − 5)(x + 5)

Örnek:

9x² − 16

= (3x − 4)(3x + 4)

Önemli:

a² + b² iki kare farkı değildir.

1. Tam Kare Özdeşlikleri

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Ters yönde:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² − 2ab + b² = (a − b)²

Örnek:

x² + 6x + 9

= (x + 3)²

Örnek:

x² − 10x + 25

= (x − 5)²

1. x² + bx + c Biçimindeki İfadeler

Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı bulunur.

Örnek:

x² + 5x + 6

Çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar:

2 ve 3

Bu nedenle:

x² + 5x + 6

= (x + 2)(x + 3)

1. İşaret Kontrolü

x² + bx + c ifadesinde:

c pozitifse çarpanlardaki sayıların işaretleri aynıdır.

c negatifse işaretleri farklıdır.

Örnek:

x² + x − 6

Çarpımları −6, toplamları 1 olan sayılar:

3 ve −2

Sonuç:

(x + 3)(x − 2)

1. Negatif Orta Terim

Örnek:

x² − 7x + 12

Çarpımları 12,

toplamları −7

olan sayılar:

−3 ve −4

Sonuç:

(x − 3)(x − 4)

1. ax² + bx + c Biçimindeki İfadeler

Baş katsayı 1 değilse uygun çarpanlar aranır.

Örnek:

2x² + 5x + 2

= (2x + 1)(x + 2)

Kontrol:

2x² + 4x + x + 2

= 2x² + 5x + 2

1. Orta Terimi Parçalama

ax² + bx + c ifadesinde:

a·c hesaplanır.

Çarpımları a·c, toplamları b olan iki sayı bulunur.

Örnek:

6x² + 7x + 2

a·c = 12

Çarpımları 12, toplamları 7 olan sayılar:

3 ve 4

6x² + 7x + 2

= 6x² + 3x + 4x + 2

= 3x(2x + 1) + 2(2x + 1)

= (3x + 2)(2x + 1)

1. Ortak İfadeyi Değişken Gibi Kullanma

Tekrar eden bir ifade geçici olarak yeni bir değişkenle gösterilebilir.

Örnek:

(x + 1)² + 5(x + 1) + 6

t = x + 1 olsun.

t² + 5t + 6

= (t + 2)(t + 3)

Geri dönüş:

(x + 3)(x + 4)

1. Küp Farkı

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Örnek:

x³ − 8

= x³ − 2³

= (x − 2)(x² + 2x + 4)

1. Küp Toplamı

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Örnek:

x³ + 27

= x³ + 3³

= (x + 3)(x² − 3x + 9)

1. Birden Fazla Yöntemi Birlikte Kullanma

Bazı ifadeler birden fazla aşamada çarpanlara ayrılır.

Örnek:

x⁴ − 16

= (x² − 4)(x² + 4)

= (x − 2)(x + 2)(x² + 4)

1. Ortak Çarpan Sonrası Özdeşlik

Örnek:

3x³ − 12x

Önce ortak çarpan:

3x(x² − 4)

Sonra iki kare farkı:

3x(x − 2)(x + 2)

Bu nedenle çarpanlara ayırmada ilk kontrol ortak çarpan olmalıdır.

1. Negatif Ortak Çarpan

Gerekirse −1 ortak çarpan olarak alınabilir.

Örnek:

−x² + 5x − 6

= −(x² − 5x + 6)

= −(x − 2)(x − 3)

1. Çarpanlara Ayırarak Denklem Çözme

A·B = 0 ise:

A = 0

veya

B = 0

Örnek:

x² − 5x + 6 = 0

(x − 2)(x − 3) = 0

x = 2 veya x = 3

1. Kesirli İfadelerde Sadeleştirme

Örnek:

(x² − 9) / (x − 3)

= [(x − 3)(x + 3)] / (x − 3)

= x + 3

Ancak:

x ≠ 3

koşulu korunmalıdır.

1. Çarpanlara Ayırmada Kontrol Sırası

Bir ifade gördüğünde şu sırayla incelemek yararlıdır:

1. Ortak çarpan var mı?

1. İki kare farkı mı?

1. Tam kare özdeşliği mi?

1. x² + bx + c biçiminde mi?

1. ax² + bx + c biçiminde mi?

1. Küp toplamı veya farkı mı?

1. Gruplandırma yapılabilir mi?

Sık Karıştırılan Noktalar

• a² − b² = (a − b)(a + b)

• a² + b² iki kare farkı değildir.

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

• (a − b)² = a² − 2ab + b²

• x² + bx + c ifadesinde sayıların toplamı b, çarpımı c olmalıdır.

• ax² + bx + c biçiminde a·c yöntemi kullanılabilir.

• Küp toplamı ve küp farkının ikinci parantezindeki işaretler farklıdır.

• İlk çarpanlara ayırmadan sonra işlem bitmiş olmayabilir.

• Kesirli ifadelerde sadeleştirilen değerin tanımsızlık koşulu korunmalıdır.

Çarpanlara Ayırma Kısa Özeti

ab + ac = a(b + c)

a² − b² = (a − b)(a + b)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² − 2ab + b² = (a − b)²

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

x² + bx + c ifadesinde:

Toplamları b,

çarpımları c

olan iki sayı aranır.

A·B = 0 ise:

A = 0 veya B = 0

Çarpanlara ayırmada ilk kontrol her zaman ortak çarpan olmalıdır.