TYT Matematik İkinci Dereceden Denklemler Ders Notu

İkinci Dereceden Denklemler Ders Notu

İkinci dereceden denklemler, en yüksek kuvveti 2 olan denklemlerdir.

1. Genel Biçim

İkinci dereceden denklemin genel biçimi:

ax²+bx+c=0

şeklindedir.

Burada:

a, b, c ∈ R

ve:

a≠0

olmalıdır.

a=0 olursa denklem ikinci dereceden olmaz.

1. Denklemin Kökü

Denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökleri denir.

Örnek:

x²−5x+6=0

(x−2)(x−3)=0

x=2

veya:

x=3

1. Çarpanlara Ayırarak Kök Bulma

Denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa:

A·B=0

durumunda:

A=0

veya:

B=0

yazılır.

Örnek:

x²−7x+12=0

(x−3)(x−4)=0

x=3

x=4

1. Ortak Çarpan

Örnek:

x²−4x=0

x(x−4)=0

x=0

veya:

x=4

Ortak çarpanı sadeleştirerek kök kaybetmemeye dikkat edilmelidir.

1. Tam Kare Denklem

Örnek:

x²−6x+9=0

(x−3)²=0

x=3

Bu durumda kökler eşittir.

1. İki Kare Farkı

Örnek:

x²−25=0

(x−5)(x+5)=0

x=5

x=−5

1. Diskriminant

ax²+bx+c=0 denkleminde:

Δ=b²−4ac

ifadesine diskriminant denir.

1. Kök Formülü

Denklemin kökleri:

x=(−b±√Δ)/2a

formülüyle bulunur.

1. Diskriminanta Göre Kök Sayısı

Δ>0 ise:

İki farklı gerçek kök vardır.

Δ=0 ise:

İki eşit gerçek kök vardır.

Δ<0 ise:

Gerçek sayılarda kök yoktur.

Örnek:

x²−5x+6=0

Δ=(−5)²−4·1·6

=1

Δ>0 olduğu için iki farklı gerçek kök vardır.

1. Eşit Kök

Δ=0 ise kök:

x=−b/2a

şeklinde bulunur.

Örnek:

x²−6x+9=0

x=3

1. Kökler Toplamı

ax²+bx+c=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise:

x₁+x₂=−b/a

Örnek:

2x²−6x+4=0

x₁+x₂=6/2

=3

1. Kökler Çarpımı

x₁x₂=c/a

Örnek:

2x²−6x+4=0

x₁x₂=4/2

=2

1. Köklerin Kareleri Toplamı

x₁²+x₂²

=(x₁+x₂)²−2x₁x₂

Örnek:

x₁+x₂=5

x₁x₂=6

ise:

x₁²+x₂²

=25−12

=13

1. Köklerin Farkının Karesi

(x₁−x₂)²

=(x₁+x₂)²−4x₁x₂

1. Köklerin Tersleri Toplamı

Kökler sıfırdan farklıysa:

1/x₁ + 1/x₂

=(x₁+x₂)/(x₁x₂)

ax²+bx+c=0 için:

1/x₁ + 1/x₂

=−b/c

1. Kökleri Bilinen Denklem

Kökleri x₁ ve x₂ olan denklem:

(x−x₁)(x−x₂)=0

şeklinde kurulabilir.

Açılmış biçimi:

x²−(x₁+x₂)x+x₁x₂=0

Örnek:

Kökleri 2 ve 5 olan denklem:

x²−7x+10=0

1. Kökler Toplamı ve Çarpımından Denklem

Kökler toplamı:

S

Kökler çarpımı:

P

ise:

x²−Sx+P=0

Örnek:

S=8

P=15

ise:

x²−8x+15=0

1. Bir Kök Biliniyorsa

Örnek:

2x²−10x+12=0

Bir kök 2 olsun.

Kökler toplamı:

5

Diğer kök:

5−2=3

1. Parametreli Denklemlerde Kök Sayısı

İki farklı gerçek kök:

Δ>0

Eşit kök:

Δ=0

Gerçek kök yok:

Δ<0

Örnek:

x²−4x+m=0

eşit köklü ise:

Δ=0

16−4m=0

m=4

1. Köklerden Biri Sıfırsa

ax²+bx+c=0 denkleminde köklerden biri sıfırsa:

x₁x₂=0

olacağından:

c=0

olmalıdır.

1. Kökler Toplamı Sıfırsa

x₁+x₂=0

ise:

−b/a=0

Buradan:

b=0

1. Köklerin İşaretleri

Gerçek ve sıfırdan farklı köklerde:

x₁x₂<0

ise kökler zıt işaretlidir.

x₁x₂>0 ve x₁+x₂>0

ise iki kök pozitiftir.

x₁x₂>0 ve x₁+x₂<0

ise iki kök negatiftir.

1. Bir Kök Diğerinin Katıysa

Köklerden biri diğerinin 2 katıysa:

x₁=k

x₂=2k

alınabilir.

Toplam:

3k

Çarpım:

2k²

olur.

Bu ifadeler:

−b/a

ve:

c/a

ile eşleştirilir.

1. Yeni Köklerden Denklem

Eski kökler x₁ ve x₂ olsun.

Yeni kökler:

x₁+1

x₂+1

ise önce yeni köklerin toplam ve çarpımı bulunur.

Daha sonra:

x²−Sx+P=0

kullanılır.

1. Köklerin Terslerini Kök Kabul Eden Denklem

ax²+bx+c=0

denkleminde c≠0 ise köklerin terslerini kök kabul eden denklem:

cx²+bx+a=0

şeklindedir.

1. Köklerin Negatiflerini Kök Kabul Eden Denklem

Kökler:

−x₁ ve −x₂

olacaksa P(−x)=0 dönüşümü kullanılabilir.

Örnek:

x²−5x+6=0

denkleminde kökler 2 ve 3'tür.

Negatiflerini kök kabul eden denklem:

x²+5x+6=0

1. Değişken Dönüşümü

Bazı yüksek dereceli denklemler ikinci derece biçimine dönüştürülebilir.

Örnek:

x⁴−5x²+4=0

x²=t

alınır.

t²−5t+4=0

(t−1)(t−4)=0

t=1 veya t=4

x=±1

veya:

x=±2

1. Diskriminant ve Köklerin Farkı

ax²+bx+c=0 için:

(x₁−x₂)²=Δ/a²

olur.

Δ≥0 ise:

|x₁−x₂|=√Δ/|a|

Sık Karıştırılan Noktalar

• İkinci dereceden denklemde a≠0 olmalıdır.

• Diskriminant:

Δ=b²−4ac

şeklindedir.

• Kök formülünde payda 2a’dır.

• Δ=0 ise eşit iki kök vardır.

• Kökler toplamı −b/a’dır.

• Kökler çarpımı c/a’dır.

• Kökleri toplamı S, çarpımı P olan denklem x²−Sx+P=0 şeklindedir.

• Köklerden biri sıfırsa c=0’dır.

• Kökler toplamı sıfırsa b=0’dır.

• Köklerin çarpımı negatifse kökler zıt işaretlidir.

• Kök sayısı sorularında diskriminant kullanılır.

İkinci Dereceden Denklemler Kısa Özeti

Genel biçim:

ax²+bx+c=0

a≠0

Diskriminant:

Δ=b²−4ac

Kök formülü:

x=(−b±√Δ)/2a

Δ>0:

İki farklı gerçek kök

Δ=0:

İki eşit gerçek kök

Δ<0:

Gerçek kök yok

Kökler toplamı:

x₁+x₂=−b/a

Kökler çarpımı:

x₁x₂=c/a

Kökleri verilen denklem:

x²−(x₁+x₂)x+x₁x₂=0

Köklerin kareleri toplamı:

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂

Köklerin tersleri toplamı:

1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)