TYT Matematik Mutlak Değer Ders Notu

Mutlak Değer Ders Notu

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığını gösterir. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer sonucu her zaman sıfır veya pozitiftir.

1. Mutlak Değerin Tanımı

Bir gerçek sayı x için:

|x| = x, x ≥ 0 ise

|x| = -x, x < 0 ise

Örnek:

|5| = 5

|-5| = 5

|0| = 0

1. Temel Özellikler

Her gerçek sayı x için:

|x| ≥ 0

|-x| = |x|

|x| = 0 ⇔ x = 0

|x|² = x²

√(x²) = |x|

Önemli:

√(x²) = x şeklinde yazılmaz.

x negatif olabileceği için doğru ifade:

√(x²) = |x|

1. Sayı Doğrusunda Mutlak Değer

|x| ifadesi, x sayısının sıfıra olan uzaklığıdır.

|x - a| ifadesi ise x ile a arasındaki uzaklığı gösterir.

Örnek:

|x - 4| = 3

x sayısı 4'e 3 birim uzaklıktadır.

Bu nedenle:

x = 7

veya

x = 1

Genel olarak:

|x - a| = b, b ≥ 0 ise

x = a + b

veya

x = a - b

1. Mutlak Değerli Denklemler

|A| = k şeklinde bir denklem için:

k > 0 ise:

A = k

veya

A = -k

k = 0 ise:

A = 0

k < 0 ise:

Çözüm yoktur.

Örnek:

|2x - 1| = 5

2x - 1 = 5

veya

2x - 1 = -5

Birinci durum:

2x = 6

x = 3

İkinci durum:

2x = -4

x = -2

Çözüm kümesi:

{-2, 3}

1. Mutlak Değerli Eşitsizlikler

a > 0 olmak üzere:

|x| < a ise:

-a < x < a

|x| ≤ a ise:

-a ≤ x ≤ a

Örnek:

|x| < 5

-5 < x < 5

Buna karşılık:

|x| > a ise:

x < -a

veya

x > a

|x| ≥ a ise:

x ≤ -a

veya

x ≥ a

Örnek:

|x| ≥ 4

x ≤ -4

veya

x ≥ 4

1. İçinde İfade Bulunan Eşitsizlikler

|x - a| < b ise:

a - b < x < a + b

Örnek:

|x - 3| < 2

1 < x < 5

|x - a| > b ise:

x < a - b

veya

x > a + b

Örnek:

|x - 3| > 2

x < 1

veya

x > 5

1. Mutlak Değerli İfadeyi Parçalı Yazma

Mutlak değerin içindeki ifade sıfırdan büyük veya eşitse aynen çıkar.

Negatifse işaret değiştirerek çıkar.

Örnek:

|x - 2|

x ≥ 2 ise:

|x - 2| = x - 2

x < 2 ise:

|x - 2| = 2 - x

Burada x = 2 kritik noktadır.

1. Birden Fazla Mutlak Değer

Birden fazla mutlak değer bulunan ifadelerde her mutlak değerin içini sıfır yapan değer bulunur.

Örnek:

|x - 3| + |x + 2|

Kritik noktalar:

x = 3

x = -2

Sayı doğrusu şu bölgelere ayrılır:

x < -2

-2 ≤ x < 3

x ≥ 3

Her bölgede ifadelerin işaretleri ayrı ayrı değerlendirilir.

1. Çarpım ve Bölüm Özellikleri

|a · b| = |a| · |b|

b ≠ 0 olmak üzere:

|a / b| = |a| / |b|

Örnek:

|-3 · 5| = |-15| = 15

|-3| · |5| = 3 · 5 = 15

1. Üçgen Eşitsizliği

Gerçek sayılar için:

|a + b| ≤ |a| + |b|

Ayrıca:

||a| - |b|| ≤ |a - b|

Sık Karıştırılan Noktalar

• Mutlak değer sonucu negatif olamaz.

• |-x| = |x| her zaman doğrudur.

• |x| = negatif sayı denkleminin çözümü yoktur.

• |x| < a eşitsizliği iki değerin arasını verir.

• |x| > a eşitsizliği iki değerin dışını verir.

• √(x²) = |x| olur.

• |a + b| her zaman |a| + |b|'ye eşit değildir.

Mutlak Değer Kısa Özeti

|x| = x, x ≥ 0 ise

|x| = -x, x < 0 ise

|x| ≥ 0

|-x| = |x|

|x| = a, a > 0 ise:

x = a veya x = -a

|x| < a ise:

-a < x < a

|x| > a ise:

x < -a veya x > a

|x - a| ifadesi, x ile a arasındaki uzaklığı gösterir.

Bir mutlak değerli ifadeyi açarken içini sıfır yapan değer kritik nokta olarak kullanılır.