Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Konu Anlatımı

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Konuya Giriş

Trigonometri, açı ölçüleri ile uzunluklar arasındaki ilişkileri inceleyen ve bu ilişkileri fonksiyonlarla ifade etmeyi sağlayan bir matematik alanıdır. MEB kitabında bu konu yalnızca dik üçgendeki trigonometrik oranlarla sınırlı tutulmaz; birim çember, yönlü açı, derece-radyan dönüşümü, esas ölçü, trigonometrik referans fonksiyonların grafikleri ve bu fonksiyonlardan türetilen yeni fonksiyonların nitel özellikleri birlikte ele alınır.

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları değiştikçe sinüs ve kosinüs değerleri, bu değerlerin oranları üzerinden de tanjant ve kotanjant değerleri değişir. Böylece trigonometrik oranlar, gerçek sayılara bağlı fonksiyonlar hâline gelir. Bu fonksiyonların periyodik olması; dönme dolap, rüzgâr türbini, sarkaç ve benzeri tekrar eden hareketlerin modellenmesini mümkün kılar.

1. Birim Çember ve Yönlü Açı

Dik koordinat sisteminde merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember, trigonometrik fonksiyonların değerlerini hem sayısal hem de geometrik olarak incelemek için temel modeldir.

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışından biri başlangıç kolu, diğeri bitiş kolu seçildiğinde yönlü açı oluşur. Saatin dönme yönünün tersindeki açılar pozitif yönlü, saatin dönme yönündeki açılar negatif yönlü kabul edilir.

Birim çemberde pozitif yönde ilerlemek açı ölçüsünün artması, negatif yönde ilerlemek ise açı ölçüsünün azalması anlamına gelir. Aynı bitiş koluna ulaşan farklı açı ölçüleri arasında tam tur farkları bulunabilir.

2. Derece ve Radyan

Tam bir çember 360 dereceye karşılık gelir. Birim çemberin çevresi 2pi olduğundan tam bir tur aynı zamanda 2pi radyandır.

Bu nedenle:

360 derece = 2pi radyan

180 derece = pi radyan

Derece cinsinden D ve radyan cinsinden R arasında

D/180 = R/pi

bağıntısı kullanılır.

3. Esas Ölçü

Bir açıya tam tur sayısı kadar ekleme veya çıkarma yapıldığında bitiş kolu değişmez. Bu nedenle derece cinsinden açılarda 360 derecenin, radyan cinsinden açılarda 2pi'nin tam katları kullanılarak esas ölçü bulunur.

Derece cinsinden esas ölçü 0 derece ile 360 derece arasındadır. Radyan cinsinden esas ölçü 0 ile 2pi arasındadır.

Kitaptaki örneklerde 1570 derecenin esas ölçüsü 130 derece, eksi 1240 derecenin esas ölçüsü 200 derece, 59pi/3 radyanın esas ölçüsü 5pi/3 ve eksi 78pi/5 radyanın esas ölçüsü 2pi/5 olarak bulunur.

4. Birim Çemberde Sinüs ve Kosinüs

Birim çember üzerindeki P noktasına karşılık gelen pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. P noktasının koordinatları

P(cos a, sin a)

şeklindedir.

Yani noktanın apsisi kosinüs, ordinatı sinüs değerini verir. Birim çember üzerindeki her noktanın orijine uzaklığı 1 olduğundan Pisagor bağıntısından

sin²a + cos²a = 1

elde edilir.

Bu ilişki, birim çember üzerindeki trigonometrik değerlerin temel bağlantılarından biridir.

5. Bölgelerde Sinüs ve Kosinüs

Birim çemberde noktanın bulunduğu bölge, sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretini belirler.

• 1. bölgede sinüs ve kosinüs pozitiftir.
• 2. bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir.
• 3. bölgede sinüs ve kosinüs negatiftir.
• 4. bölgede sinüs negatif, kosinüs pozitiftir.

MEB kitabında 120 derece, 225 derece ve 330 derece gibi açıların sinüs ve kosinüs değerleri birim çember ve özel üçgenlerden yararlanılarak bulunur.

6. Tanjant ve Kotanjant

Birim çemberde P(a,b) noktası için uygun olduğu yerlerde

tan x = sin x / cos x

cot x = cos x / sin x

bağıntıları kullanılır.

Kosinüs sıfır olduğunda tanjant tanımsız, sinüs sıfır olduğunda kotanjant tanımsızdır.

Bu nedenle tanjantın tanım kümesinden pi/2+k·pi, kotanjantın tanım kümesinden k·pi değerleri çıkarılır.

7. Trigonometrik Referans Fonksiyonların Periyotları

Bir fonksiyonun değerleri belirli bir pozitif sayı kadar ilerlediğinde tekrar ediyorsa fonksiyon periyodiktir. f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T sayısı esas periyottur.

Trigonometrik referans fonksiyonların esas periyotları:

• sin x → 2pi
• cos x → 2pi
• tan x → pi
• cot x → pi

Birim çemberde tam turun sinüs ve kosinüsü, yarım turun ise tanjant ve kotanjantı tekrar ettirmesi bu periyotların geometrik temelini oluşturur.

8. Sinüs Referans Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

f(x)=sin x fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1]'dir.

Fonksiyon 2pi periyotludur. Sıfırları x=k·pi biçimindedir.

Sinüs tek fonksiyondur; sin(-x)=-sin x olur.

Fonksiyonun maksimum değeri 1, minimum değeri -1'dir. Bütün gerçek sayılarda periyodik olduğu için global olarak bire bir değildir. Değer kümesi R alındığında [-1,1] dışındaki değerleri alamadığı için R'ye örten değildir.

Grafikte artan ve azalan aralıklar periyodik olarak tekrar eder.

9. Kosinüs Referans Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

g(x)=cos x fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1]'dir.

Fonksiyonun esas periyodu 2pi'dir. Sıfırları x=pi/2+k·pi biçimindedir.

Kosinüs çift fonksiyondur; cos(-x)=cos x olur.

Maksimum değeri 1, minimum değeri -1'dir. Periyodik olduğundan bütün gerçek sayılarda bire bir değildir. Değer kümesi R seçildiğinde R'ye örten değildir.

10. Tanjant Referans Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

h(x)=tan x fonksiyonu x=pi/2+k·pi noktalarında tanımsızdır. Görüntü kümesi R'dir.

Esas periyodu pi'dir. Tanım kümesindeki her kesintisiz aralıkta artandır.

Sıfırları x=k·pi biçimindedir.

Tanjant tek fonksiyondur. Maksimum ve minimum değeri yoktur. Bütün tanım kümesinde periyodik tekrar nedeniyle bire bir değildir; uygun değer kümesi R olduğunda örtendir.

11. Kotanjant Referans Fonksiyonunun Nitel Özellikleri

r(x)=cot x fonksiyonu x=k·pi noktalarında tanımsızdır. Görüntü kümesi R'dir.

Esas periyodu pi'dir. Tanım kümesindeki her kesintisiz aralıkta azalandır.

Sıfırları x=pi/2+k·pi biçimindedir.

Kotanjant tek fonksiyondur. Maksimum ve minimum değeri yoktur. Bütün tanım kümesinde periyodik olduğu için bire bir değildir; uygun değer kümesi R olduğunda örtendir.

12. Trigonometrik Referans Fonksiyonlardan Türetilen Fonksiyonlar

MEB kitabında sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant referans fonksiyonlarından

g(x)=k·f(m(x+r))+s

biçiminde yeni trigonometrik fonksiyonlar türetilir. Burada k ve m sıfırdan farklı gerçek sayılardır.

Parametreler grafik üzerinde farklı etkiler oluşturur:

• k, fonksiyon değerlerini çarpar; dikey germe veya sıkıştırma oluşturur. k negatif olduğunda x eksenine göre yansıma da oluşur.
• m, bağımsız değişkeni çarpar; yatay germe veya sıkıştırma oluşturur. m negatif olduğunda y eksenine göre yansıma etkisi de görülür.
• r, x ekseni boyunca ötelemeyi etkiler.
• s, y ekseni boyunca öteleme yapar.

Örneğin sin(x-3)+2 fonksiyonu sin x grafiğinin 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmiş hâlidir.

13. Türetilmiş Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

g(x)=k·sin(m(x+r))+s veya g(x)=k·cos(m(x+r))+s biçimindeki fonksiyonların tanım kümesi R'dir.

Görüntü kümesi k'nın büyüklüğüne ve s değerine bağlıdır. Sinüs ve kosinüs [-1,1] aralığında değer aldığı için yeni fonksiyonun değerleri s-|k| ile s+|k| arasında kalır.

Esas periyot, yatay sıkıştırma-germe nedeniyle

T = 2pi / |m|

biçiminde belirlenir.

Maksimum ve minimum değerler de k ve s parametrelerinden bulunur.

14. Türetilmiş Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

g(x)=k·tan(m(x+r))+s ve g(x)=k·cot(m(x+r))+s fonksiyonlarının görüntü kümesi R'dir.

Tanjant ve kotanjantın esas periyodu pi olduğundan yeni fonksiyonların periyodu

T = pi / |m|

olur.

Tanım kümeleri ise içteki ifade tanjant veya kotanjantın tanımsız olduğu değerlere eşit olmayacak şekilde belirlenir.

Bu fonksiyonların maksimum ve minimum değeri yoktur.

15. Dönüşümler ve Nitel Özellikler

Grafik dönüşümleri yalnız görünüşü değil, bazı nitel özellikleri de değiştirir.

Düşey öteleme periyodu değiştirmez. Yatay sıkıştırma veya germe periyodu değiştirir. k katsayısı sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında maksimum-minimum değerleri etkiler. Tanjant ve kotanjantta görüntü kümesi R olarak kalır.

Kitapta g(x)=2sin x+1 örneğinde tanım kümesinin R, görüntü kümesinin [-1,3] olduğu hem grafik hem cebirsel olarak gösterilir.

16. Gerçek Yaşam Modeli: Dönme Dolap

MEB kitabında 15 metre yarıçaplı bir dönme dolap kabininin bağlantı noktasının yerden yüksekliği

f(t)=-15cos(pi·t/30)+16

biçimindeki bir trigonometrik fonksiyonla modellenir.

Bu modelin periyodu 60 saniyedir. Bağlantı noktasının en düşük yüksekliği 1 metre, en yüksek yüksekliği 31 metredir.

0 ile 30. saniyeler arasında yükseklik artar, 30 ile 60. saniyeler arasında azalır. Bu davranış her 60 saniyede tekrar eder.

17. Grafiksel Eşitlikler

Kitapta grafik dönüşümlerinden yararlanılarak bazı trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çakıştığı doğrulanır.

Örneğin:

cos(x+pi/2) ile -sin x

sin(x+pi) ile -sin x

tan(x-3pi/2) ile -cot x

grafik dönüşümleri üzerinden ilişkilendirilir.

Bu tür ilişkilerde amaç ezberlenmiş bir özdeşlik listesi oluşturmak değil, referans grafiklerin öteleme ve yansıma dönüşümlerini yorumlamaktır.

18. Periyot ve Sıfır Sayısı

Bağımsız değişkenin katsayısı arttıkça grafik yatayda sıkışır ve belirli bir aralıktaki tekrar sayısı artar.

Kitapta sin(4x) fonksiyonunun [0,2pi) aralığında 8 sıfırı olduğu; 2sin(5x) fonksiyonunun aynı aralıkta 10 sıfırı olduğu grafik ve cebirsel temsil üzerinden incelenir.

Bu sonuçlar, periyot ile belirli bir aralıkta gerçekleşen tekrar ve sıfır sayısı arasındaki ilişkiyi göstermektedir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Pozitif yön saat yönünün tersidir; negatif yön saat yönüdür.
• 180 derece = pi radyan, 360 derece = 2pi radyandır.
• Birim çemberde noktanın apsisi kosinüs, ordinatı sinüstür.
• tan x = sin x / cos x olduğundan kosinüsün sıfır olduğu noktalarda tanjant tanımsızdır.
• cot x = cos x / sin x olduğundan sinüsün sıfır olduğu noktalarda kotanjant tanımsızdır.
• Sinüs ve kosinüsün periyodu 2pi; tanjant ve kotanjantın periyodu pi'dir.
• Sinüs, tanjant ve kotanjant tek; kosinüs çifttir.
• Sinüs ve kosinüsün maksimum-minimum değerleri vardır; tanjant ve kotanjantın yoktur.
• Düşey öteleme periyodu değiştirmez; yatay sıkıştırma-germe değiştirir.
• Türetilmiş tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında tanımsız noktalar unutulmamalıdır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Önce açı ölçüsünün derece mi radyan mı olduğunu belirle. Gerekirse D/180=R/pi bağıntısıyla birim dönüşümü yap. Esas ölçü sorusunda derece için 360 derecenin, radyan için 2pi'nin tam katlarını kullan.

Birim çember sorularında noktayı doğru bölgeye yerleştir. Noktanın x koordinatını kosinüs, y koordinatını sinüs olarak yorumla. Tanjant ve kotanjant isteniyorsa sinüs-kosinüs oranlarını kullan ve paydanın sıfır olmadığına dikkat et.

Fonksiyon sorularında önce sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjant referans fonksiyonunu belirle. Ardından tanım-görüntü kümesi, periyot, sıfırlar, işaret, artanlık-azalanlık, maksimum-minimum, bire birlik, örtenlik ve tek-çift özelliklerini verilen tanım aralığıyla birlikte değerlendir.

Türetilmiş fonksiyonlarda k, m, r ve s parametrelerini ayrı ayrı incele. Özellikle m periyodu, k sinüs-kosinüsün dikey büyüklüğünü, r yatay ötelemeyi ve s düşey ötelemeyi etkiler.

Konu Özeti

Trigonometrik fonksiyonlar birim çember ve yönlü açı kavramlarıyla gerçek sayılara bağlı fonksiyonlar olarak tanımlanır. Sinüs ve kosinüs bütün gerçek sayılarda tanımlı ve [-1,1] aralığında değerlidir. Tanjantın tanımından pi/2+k·pi, kotanjantın tanımından k·pi değerleri çıkarılır; her ikisinin görüntü kümesi R'dir. Sinüs ve kosinüsün periyodu 2pi, tanjant ve kotanjantın periyodu pi'dir. Trigonometrik referans fonksiyonlardan k, m, r ve s parametreleriyle türetilen fonksiyonlarda grafik dönüşümleri ve nitel özellikler birlikte incelenir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Birim çember ve yönlü açı kavramlarını açıklayabilmelisin.
• Derece-radyan dönüşümü yapabilmelisin.
• Bir açının esas ölçüsünü bulabilmelisin.
• Birim çemberde sinüs ve kosinüs değerlerini yorumlayabilmelisin.
• sin²x+cos²x=1, tan x=sin x/cos x ve cot x=cos x/sin x ilişkilerini kullanabilmelisin.
• Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant referans fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümelerini belirleyebilmelisin.
• Referans fonksiyonların periyotlarını, sıfırlarını, işaretlerini ve tek-çift özelliklerini yorumlayabilmelisin.
• Artanlık-azalanlık, maksimum-minimum, bire birlik ve örtenlik özelliklerini grafik üzerinden değerlendirebilmelisin.
• g(x)=k·f(m(x+r))+s biçimindeki dönüşümlerin etkilerini yorumlayabilmelisin.
• Türetilmiş trigonometrik fonksiyonların periyot ve görüntü kümelerini belirleyebilmelisin.
• Gerçek yaşamda periyodik durumları trigonometrik fonksiyonlarla ilişkilendirebilmelisin.