Gerçek Sayı Dizileri Ders Notu

Gerçek Sayı Dizileri — Ders Notu

Dizi, Genel Terim ve İndis

Gerçek sayı dizisi f:Z⁺→R fonksiyonudur. **aₙ=f(n)** dizinin n. terimidir; n=1,2,… sırasıyla a₁,a₂,… değerlerini üretir. Grafikte sadece pozitif tam sayı apsisli ayrık noktalar kullanılır. Bir kuralın bütün pozitif tam sayılarda tanımlı olması gerekir; aₙ=1/(n−4) bu koşulu sağlamaz. aₙ=3n−2 için a₁=1, a₅=13; aₙ₊₁=3n+1'dir.

Sonlu, Sabit ve Eşit Diziler

Tanım kümesi {1,2,…,k} olan dizi **k terimli sonlu dizi**dir ve k+1. terimi yoktur. **Sabit dizi** tüm indislerde aₙ=c olur; örneğin (5n+10)/(n+2)=5. **Eşit diziler**, her pozitif tam sayıda aₙ=bₙ koşulunu sağlar. Birkaç ortak terim bütün dizilerin eşitliğine kanıt olmaz.

İndirgeme Bağıntısı ve Terim İncelemesi

İndirgemeli dizide bir terim öncekilerden üretilir: a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ−1 ⇒ 3,5,9,17,… . Başlangıç değeri gereklidir. Bir dizinin negatif terimleri soruluyorsa aₙ<0 çözülür ve yalnız **n∈Z⁺** olan çözümler sayılır. n²−5n+4<0 ⇒ 1<n<4 olduğundan iki negatif terim (n=2,3) vardır.

Karesel ve Üçgensel Sayılar

Karesel sayı dizisi aₙ=n²: 1,4,9,16,… . Üçgensel sayı dizisi tₙ=n(n+1)/2: 1,3,6,10,… . Terim örüntüleri şekiller ve düzenlemeler için model oluşturabilir.

Kısmi Toplamlar ve Sigma

**Sₙ=a₁+…+aₙ** ilk n terimin toplamıdır. a₁=S₁ ve **n≥2 için aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁**. Örneğin Sₙ=n²+2n ise a₆=S₆−S₅=48−35=13. Toplam sembolü Σ(k=1'den n'ye) aₖ aynı işlemi kısa biçimde gösterir; Σ(k=1'den n'ye) k=n(n+1)/2. Basit kesirli toplamlarda 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) sadeleşmesini kullan.

Aritmetik Diziler

Ardışık terimlerin farkı sabittir: **d=aₙ₊₁−aₙ**. Genel terim **aₙ=a₁+(n−1)d**; iki terim arasında **d=(aₙ−aₚ)/(n−p)**. Ortadaki terim, eşit aralıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır: **2aₖ=aₖ₋ₘ+aₖ₊ₘ**. İlk n terimin toplamı **Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=n(2a₁+(n−1)d)/2**. İlk terim 5, ortak fark 4 için a₈=33 ve S₈=152.

Geometrik Diziler

Ardışık terimler sabit çarpanla değişir: **aₙ₊₁=r·aₙ**, **aₙ=a₁r⁽ⁿ⁻¹⁾**. Sıfır olmayan terimler için r=aₙ₊₁/aₙ. Üç ardışık terimde orta terimin karesi yan terimlerin çarpımıdır: **aₖ²=aₖ₋₁aₖ₊₁**. İşareti ayrıca kontrol et. **r≠1 için Sₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r)**, r=1 için **Sₙ=na₁**. İlk terim 2, r=3 olduğunda a₅=162 ve S₅=242.

Modeller ve Fibonacci Dizisi

Her aşamada **sabit miktar** eklemek aritmetik; **sabit oranla** değişmek geometrik model oluşturur. Başlangıç değerinin birinci terim olduğu durumda n−1 çarpanı/üssü unutulmaz. Fibonacci dizisinde **F₁=F₂=1**, Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂ (n≥3): 1,1,2,3,5,8,13,21,… . Ardışık büyük Fibonacci terimlerinin oranı (1+√5)/2 değerine yaklaşır.

Kısa Özet

Dizi → pozitif tam sayı indis. İndirgemeli dizi → başlangıç değeri gerekir. Sₙ → ilk n terimin toplamı. **Aritmetik = fark sabit**, **geometrik = çarpan sabit**. Sonlu dizide indis sınırına, toplamlarda terim sayısına, geometrik dizide negatif çarpana ve Fibonacci'de son iki terimi kullanmaya dikkat et.